Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16394 / 10777
↖ ↑ ↗
← N 52.315195°
E  0.109864°		 ← 746.77 m → N 52.315195°
E  0.120849°		 →
↑
746.87 m
↓
↑
746.87 m
↓
N 52.308479°
E  0.109864°		 ← 746.88 m →
557 784 m²		 N 52.308479°
E  0.120849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500320434570312 y=0.328903198242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500320434570312 × 215)
    floor (0.500320434570312 × 32768)
    floor (16394.5)     		tx = 16394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328903198242188 × 215)
    floor (0.328903198242188 × 32768)
    floor (10777.5)     		ty = 10777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16394 / 10777 ti = "15/16394/10777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16394/10777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16394 ÷ 215
    16394 ÷ 32768     		x = 0.50030517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10777 ÷ 215
    10777 ÷ 32768     		y = 0.328887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50030517578125 × 2 - 1) × π
    0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328887939453125 × 2 - 1) × π
    0.34222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07512878467862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00191748} λ = 0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07512878467862))-π/2
    2×atan(2.93037026302649)-π/2
    2×1.24193436648164-π/2
    2.48386873296328-1.57079632675     		φ = 0.91307241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91307241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.315195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16394 KachelY 10777 0.00191748 0.91307241 0.109864 52.315195
    Oben rechts KachelX + 1 16395 KachelY 10777 0.00210922 0.91307241 0.120849 52.315195
    Unten links KachelX 16394 KachelY + 1 10778 0.00191748 0.91295518 0.109864 52.308479
    Unten rechts KachelX + 1 16395 KachelY + 1 10778 0.00210922 0.91295518 0.120849 52.308479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91307241-0.91295518) × R
    0.000117229999999968 × 6371000     		dl = 746.872329999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91307241-0.91295518) × R
    0.000117229999999968 × 6371000     		dr = 746.872329999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00191748-0.00210922) × cos(0.91307241) × R
    0.00019174 × 0.611317177333649 × 6371000     		do = 746.770111012629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00191748-0.00210922) × cos(0.91295518) × R
    0.00019174 × 0.611409947277127 × 6371000     		du = 746.883436506429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91307241)-sin(0.91295518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611317177333649-0.611409947277127)×R²
    abs(0.00210922-0.00191748)×9.27699434776219e-05×R²
    0.00019174×9.27699434776219e-05×6371000²
    0.00019174×9.27699434776219e-05×40589641000000     		ar = 557784.253262983m²