Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16393 / 16363
↖ ↑ ↗
← N  0.230712°
E  0.098877°		 ← 1 221.63 m → N  0.230712°
E  0.109864°		 →
↑
1 221.64 m
↓
↑
1 221.64 m
↓
N  0.219726°
E  0.098877°		 ← 1 221.63 m →
1 492 391 m²		 N  0.219726°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500289916992188 y=0.499374389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500289916992188 × 215)
    floor (0.500289916992188 × 32768)
    floor (16393.5)     		tx = 16393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499374389648438 × 215)
    floor (0.499374389648438 × 32768)
    floor (16363.5)     		ty = 16363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16393 / 16363 ti = "15/16393/16363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16393/16363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16393 ÷ 215
    16393 ÷ 32768     		x = 0.500274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16363 ÷ 215
    16363 ÷ 32768     		y = 0.499359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500274658203125 × 2 - 1) × π
    0.00054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00172573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    0.00128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00402669956808472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00172573} λ = 0.00172573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00402669956808472))-π/2
    2×atan(1.00403481761545)-π/2
    2×0.787411507740667-π/2
    1.57482301548133-1.57079632675     		φ = 0.00402669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00172573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00402669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.230712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16393 KachelY 16363 0.00172573 0.00402669 0.098877 0.230712
    Oben rechts KachelX + 1 16394 KachelY 16363 0.00191748 0.00402669 0.109864 0.230712
    Unten links KachelX 16393 KachelY + 1 16364 0.00172573 0.00383494 0.098877 0.219726
    Unten rechts KachelX + 1 16394 KachelY + 1 16364 0.00191748 0.00383494 0.109864 0.219726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00402669-0.00383494) × R
    0.000191750000000001 × 6371000     		dl = 1221.63925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00402669-0.00383494) × R
    0.000191750000000001 × 6371000     		dr = 1221.63925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00172573-0.00191748) × cos(0.00402669) × R
    0.00019175 × 0.999991892894776 × 6371000     		do = 1221.62934604206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00172573-0.00191748) × cos(0.00383494) × R
    0.00019175 × 0.99999264662661 × 6371000     		du = 1221.63026683045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00402669)-sin(0.00383494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999991892894776-0.99999264662661)×R²
    abs(0.00191748-0.00172573)×7.53731834057803e-07×R²
    0.00019175×7.53731834057803e-07×6371000²
    0.00019175×7.53731834057803e-07×40589641000000     		ar = 1492390.92508512m²