Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16392 / 12139
↖ ↑ ↗
← N 42.204107°
E  0.087891°		 ← 904.94 m → N 42.204107°
E  0.098877°		 →
↑
904.94 m
↓
↑
904.94 m
↓
N 42.195969°
E  0.087891°		 ← 905.05 m →
818 964 m²		 N 42.195969°
E  0.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500259399414062 y=0.370468139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500259399414062 × 215)
    floor (0.500259399414062 × 32768)
    floor (16392.5)     		tx = 16392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370468139648438 × 215)
    floor (0.370468139648438 × 32768)
    floor (12139.5)     		ty = 12139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16392 / 12139 ti = "15/16392/12139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16392/12139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16392 ÷ 215
    16392 ÷ 32768     		x = 0.500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12139 ÷ 215
    12139 ÷ 32768     		y = 0.370452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500244140625 × 2 - 1) × π
    0.00048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00153398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.370452880859375 × 2 - 1) × π
    0.25909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.813968555548554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00153398} λ = 0.00153398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.813968555548554))-π/2
    2×atan(2.2568466594678)-π/2
    2×1.15369848020446-π/2
    2.30739696040892-1.57079632675     		φ = 0.73660063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00153398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73660063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.204107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16392 KachelY 12139 0.00153398 0.73660063 0.087891 42.204107
    Oben rechts KachelX + 1 16393 KachelY 12139 0.00172573 0.73660063 0.098877 42.204107
    Unten links KachelX 16392 KachelY + 1 12140 0.00153398 0.73645859 0.087891 42.195969
    Unten rechts KachelX + 1 16393 KachelY + 1 12140 0.00172573 0.73645859 0.098877 42.195969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73660063-0.73645859) × R
    0.000142039999999954 × 6371000     		dl = 904.93683999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73660063-0.73645859) × R
    0.000142039999999954 × 6371000     		dr = 904.93683999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00153398-0.00172573) × cos(0.73660063) × R
    0.00019175 × 0.740756441650654 × 6371000     		do = 904.937143810774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00153398-0.00172573) × cos(0.73645859) × R
    0.00019175 × 0.740851852913124 × 6371000     		du = 905.0537019539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73660063)-sin(0.73645859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740756441650654-0.740851852913124)×R²
    abs(0.00172573-0.00153398)×9.54112624703685e-05×R²
    0.00019175×9.54112624703685e-05×6371000²
    0.00019175×9.54112624703685e-05×40589641000000     		ar = 818963.699574063m²