Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16382 / 10868
↖ ↑ ↗
← N 51.699800°
W  0.021973°		 ← 757.15 m → N 51.699800°
W  0.010986°		 →
↑
757.19 m
↓
↑
757.19 m
↓
N 51.692990°
W  0.021973°		 ← 757.26 m →
573 352 m²		 N 51.692990°
W  0.010986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499954223632812 y=0.331680297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499954223632812 × 215)
    floor (0.499954223632812 × 32768)
    floor (16382.5)     		tx = 16382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331680297851562 × 215)
    floor (0.331680297851562 × 32768)
    floor (10868.5)     		ty = 10868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16382 / 10868 ti = "15/16382/10868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16382/10868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16382 ÷ 215
    16382 ÷ 32768     		x = 0.49993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10868 ÷ 215
    10868 ÷ 32768     		y = 0.3316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00038350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00038350} λ = -0.00038350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05767975321692))-π/2
    2×atan(2.87968165971405)-π/2
    2×1.23656402838811-π/2
    2.47312805677623-1.57079632675     		φ = 0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00038350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.021973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16382 KachelY 10868 -0.00038350 0.90233173 -0.021973 51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 16383 KachelY 10868 -0.00019175 0.90233173 -0.010986 51.699800
    Unten links KachelX 16382 KachelY + 1 10869 -0.00038350 0.90221288 -0.021973 51.692990
    Unten rechts KachelX + 1 16383 KachelY + 1 10869 -0.00019175 0.90221288 -0.010986 51.692990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90233173-0.90221288) × R
    0.000118850000000004 × 6371000     		dl = 757.193350000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90233173-0.90221288) × R
    0.000118850000000004 × 6371000     		dr = 757.193350000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00038350--0.00019175) × cos(0.90233173) × R
    0.00019175 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 757.149740619449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00038350--0.00019175) × cos(0.90221288) × R
    0.00019175 × 0.619875039272588 × 6371000     		du = 757.263678070685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90233173)-sin(0.90221288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.619875039272588)×R²
    abs(-0.00019175--0.00038350)×9.3266036791384e-05×R²
    0.00019175×9.3266036791384e-05×6371000²
    0.00019175×9.3266036791384e-05×40589641000000     		ar = 573351.885566415m²