Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16381 / 10800
↖ ↑ ↗
← N 52.160454°
W  0.032959°		 ← 749.38 m → N 52.160454°
W  0.021973°		 →
↑
749.48 m
↓
↑
749.48 m
↓
N 52.153714°
W  0.032959°		 ← 749.49 m →
561 690 m²		 N 52.153714°
W  0.021973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499923706054688 y=0.329605102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499923706054688 × 215)
    floor (0.499923706054688 × 32768)
    floor (16381.5)     		tx = 16381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329605102539062 × 215)
    floor (0.329605102539062 × 32768)
    floor (10800.5)     		ty = 10800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16381 / 10800 ti = "15/16381/10800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16381/10800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16381 ÷ 215
    16381 ÷ 32768     		x = 0.499908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10800 ÷ 215
    10800 ÷ 32768     		y = 0.32958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.00018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00057524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    0.3408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07071858991357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00057524} λ = -0.00057524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07071858991357))-π/2
    2×atan(2.91747521516964)-π/2
    2×1.24058399907285-π/2
    2.48116799814569-1.57079632675     		φ = 0.91037167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00057524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91037167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.160454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16381 KachelY 10800 -0.00057524 0.91037167 -0.032959 52.160454
    Oben rechts KachelX + 1 16382 KachelY 10800 -0.00038350 0.91037167 -0.021973 52.160454
    Unten links KachelX 16381 KachelY + 1 10801 -0.00057524 0.91025403 -0.032959 52.153714
    Unten rechts KachelX + 1 16382 KachelY + 1 10801 -0.00038350 0.91025403 -0.021973 52.153714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91037167-0.91025403) × R
    0.000117639999999919 × 6371000     		dl = 749.484439999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91037167-0.91025403) × R
    0.000117639999999919 × 6371000     		dr = 749.484439999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00057524--0.00038350) × cos(0.91037167) × R
    0.00019174 × 0.613452272249651 × 6371000     		do = 749.378290737595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00057524--0.00038350) × cos(0.91025403) × R
    0.00019174 × 0.613545172053088 × 6371000     		du = 749.491774865143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91037167)-sin(0.91025403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613452272249651-0.613545172053088)×R²
    abs(-0.00038350--0.00057524)×9.28998034364081e-05×R²
    0.00019174×9.28998034364081e-05×6371000²
    0.00019174×9.28998034364081e-05×40589641000000     		ar = 561689.896522852m²