Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16375 / 12108
↖ ↑ ↗
← N 42.455888°
W  0.098877°		 ← 901.32 m → N 42.455888°
W  0.087891°		 →
↑
901.37 m
↓
↑
901.37 m
↓
N 42.447782°
W  0.098877°		 ← 901.44 m →
812 476 m²		 N 42.447782°
W  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499740600585938 y=0.369522094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499740600585938 × 215)
    floor (0.499740600585938 × 32768)
    floor (16375.5)     		tx = 16375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369522094726562 × 215)
    floor (0.369522094726562 × 32768)
    floor (12108.5)     		ty = 12108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16375 / 12108 ti = "15/16375/12108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16375/12108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16375 ÷ 215
    16375 ÷ 32768     		x = 0.499725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12108 ÷ 215
    12108 ÷ 32768     		y = 0.3695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.00054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00172573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3695068359375 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00172573} λ = -0.00172573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81991273110144))-π/2
    2×atan(2.27030170215806)-π/2
    2×1.15589567649339-π/2
    2.31179135298678-1.57079632675     		φ = 0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00172573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.098877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16375 KachelY 12108 -0.00172573 0.74099503 -0.098877 42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 16376 KachelY 12108 -0.00153398 0.74099503 -0.087891 42.455888
    Unten links KachelX 16375 KachelY + 1 12109 -0.00172573 0.74085355 -0.098877 42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 16376 KachelY + 1 12109 -0.00153398 0.74085355 -0.087891 42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74099503-0.74085355) × R
    0.000141480000000027 × 6371000     		dl = 901.369080000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74099503-0.74085355) × R
    0.000141480000000027 × 6371000     		dr = 901.369080000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00172573--0.00153398) × cos(0.74099503) × R
    0.00019175 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 901.322087163852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00172573--0.00153398) × cos(0.74085355) × R
    0.00019175 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 901.438747336926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74099503)-sin(0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.73789275134777)×R²
    abs(-0.00153398--0.00172573)×9.54947813558427e-05×R²
    0.00019175×9.54947813558427e-05×6371000²
    0.00019175×9.54947813558427e-05×40589641000000     		ar = 812476.438782611m²