Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16370 / 12120
↖ ↑ ↗
← N 42.358544°
W  0.153809°		 ← 902.72 m → N 42.358544°
W  0.142822°		 →
↑
902.77 m
↓
↑
902.77 m
↓
N 42.350425°
W  0.153809°		 ← 902.84 m →
815 003 m²		 N 42.350425°
W  0.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499588012695312 y=0.369888305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499588012695312 × 215)
    floor (0.499588012695312 × 32768)
    floor (16370.5)     		tx = 16370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369888305664062 × 215)
    floor (0.369888305664062 × 32768)
    floor (12120.5)     		ty = 12120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16370 / 12120 ti = "15/16370/12120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16370/12120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16370 ÷ 215
    16370 ÷ 32768     		x = 0.49957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12120 ÷ 215
    12120 ÷ 32768     		y = 0.369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369873046875 × 2 - 1) × π
    0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00268447} λ = -0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817611759919678))-π/2
    2×atan(2.2650838087808)-π/2
    2×1.15504619224428-π/2
    2.31009238448857-1.57079632675     		φ = 0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16370 KachelY 12120 -0.00268447 0.73929606 -0.153809 42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 16371 KachelY 12120 -0.00249272 0.73929606 -0.142822 42.358544
    Unten links KachelX 16370 KachelY + 1 12121 -0.00268447 0.73915436 -0.153809 42.350425
    Unten rechts KachelX + 1 16371 KachelY + 1 12121 -0.00249272 0.73915436 -0.142822 42.350425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73929606-0.73915436) × R
    0.000141700000000022 × 6371000     		dl = 902.770700000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73929606-0.73915436) × R
    0.000141700000000022 × 6371000     		dr = 902.770700000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00268447--0.00249272) × cos(0.73929606) × R
    0.00019175 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 902.721813794343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00268447--0.00249272) × cos(0.73915436) × R
    0.00019175 × 0.739038499449212 × 6371000     		du = 902.838438188261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73929606)-sin(0.73915436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.739038499449212)×R²
    abs(-0.00249272--0.00268447)×9.54654935313437e-05×R²
    0.00019175×9.54654935313437e-05×6371000²
    0.00019175×9.54654935313437e-05×40589641000000     		ar = 815003.44765109m²