Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16369 / 11567
↖ ↑ ↗
← N 46.687131°
W  0.164795°		 ← 837.98 m → N 46.687131°
W  0.153809°		 →
↑
838.04 m
↓
↑
838.04 m
↓
N 46.679595°
W  0.164795°		 ← 838.10 m →
702 310 m²		 N 46.679595°
W  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499557495117188 y=0.353012084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499557495117188 × 215)
    floor (0.499557495117188 × 32768)
    floor (16369.5)     		tx = 16369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353012084960938 × 215)
    floor (0.353012084960938 × 32768)
    floor (11567.5)     		ty = 11567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16369 / 11567 ti = "15/16369/11567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16369/11567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16369 ÷ 215
    16369 ÷ 32768     		x = 0.499542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11567 ÷ 215
    11567 ÷ 32768     		y = 0.352996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.00091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00287621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352996826171875 × 2 - 1) × π
    0.29400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.923648181879242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00287621} λ = -0.00287621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923648181879242))-π/2
    2×atan(2.51846145635413)-π/2
    2×1.1928202441176-π/2
    2.38564048823521-1.57079632675     		φ = 0.81484416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00287621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81484416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.687131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16369 KachelY 11567 -0.00287621 0.81484416 -0.164795 46.687131
    Oben rechts KachelX + 1 16370 KachelY 11567 -0.00268447 0.81484416 -0.153809 46.687131
    Unten links KachelX 16369 KachelY + 1 11568 -0.00287621 0.81471262 -0.164795 46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 16370 KachelY + 1 11568 -0.00268447 0.81471262 -0.153809 46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81484416-0.81471262) × R
    0.000131540000000041 × 6371000     		dl = 838.041340000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81484416-0.81471262) × R
    0.000131540000000041 × 6371000     		dr = 838.041340000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00287621--0.00268447) × cos(0.81484416) × R
    0.00019174 × 0.685981793885028 × 6371000     		do = 837.978580295272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00287621--0.00268447) × cos(0.81471262) × R
    0.00019174 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 838.095491218193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81484416)-sin(0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685981793885028-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.00268447--0.00287621)×9.57050293594053e-05×R²
    0.00019174×9.57050293594053e-05×6371000²
    0.00019174×9.57050293594053e-05×40589641000000     		ar = 702309.681427795m²