Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16369 / 11409
↖ ↑ ↗
← N 47.864774°
W  0.164795°		 ← 819.53 m → N 47.864774°
W  0.153809°		 →
↑
819.63 m
↓
↑
819.63 m
↓
N 47.857403°
W  0.164795°		 ← 819.65 m →
671 762 m²		 N 47.857403°
W  0.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499557495117188 y=0.348190307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499557495117188 × 215)
    floor (0.499557495117188 × 32768)
    floor (16369.5)     		tx = 16369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348190307617188 × 215)
    floor (0.348190307617188 × 32768)
    floor (11409.5)     		ty = 11409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16369 / 11409 ti = "15/16369/11409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16369/11409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16369 ÷ 215
    16369 ÷ 32768     		x = 0.499542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11409 ÷ 215
    11409 ÷ 32768     		y = 0.348175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.00091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00287621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348175048828125 × 2 - 1) × π
    0.30364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.953944302439117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00287621} λ = -0.00287621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953944302439117))-π/2
    2×atan(2.59592862031987)-π/2
    2×1.203097114014-π/2
    2.40619422802801-1.57079632675     		φ = 0.83539790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00287621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83539790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.864774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16369 KachelY 11409 -0.00287621 0.83539790 -0.164795 47.864774
    Oben rechts KachelX + 1 16370 KachelY 11409 -0.00268447 0.83539790 -0.153809 47.864774
    Unten links KachelX 16369 KachelY + 1 11410 -0.00287621 0.83526925 -0.164795 47.857403
    Unten rechts KachelX + 1 16370 KachelY + 1 11410 -0.00268447 0.83526925 -0.153809 47.857403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83539790-0.83526925) × R
    0.000128650000000063 × 6371000     		dl = 819.629150000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83539790-0.83526925) × R
    0.000128650000000063 × 6371000     		dr = 819.629150000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00287621--0.00268447) × cos(0.83539790) × R
    0.00019174 × 0.670882667653705 × 6371000     		do = 819.533857015715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00287621--0.00268447) × cos(0.83526925) × R
    0.00019174 × 0.67097806424777 × 6371000     		du = 819.650391161624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83539790)-sin(0.83526925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670882667653705-0.67097806424777)×R²
    abs(-0.00268447--0.00287621)×9.53965940651003e-05×R²
    0.00019174×9.53965940651003e-05×6371000²
    0.00019174×9.53965940651003e-05×40589641000000     		ar = 671761.596939527m²