Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16367 / 16428
↖ ↑ ↗
← S  0.483392°
W  0.186768°		 ← 1 221.60 m → S  0.483392°
W  0.175781°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.494378°
W  0.186768°		 ← 1 221.59 m →
1 492 270 m²		 S  0.494378°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499496459960938 y=0.501358032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499496459960938 × 215)
    floor (0.499496459960938 × 32768)
    floor (16367.5)     		tx = 16367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501358032226562 × 215)
    floor (0.501358032226562 × 32768)
    floor (16428.5)     		ty = 16428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16367 / 16428 ti = "15/16367/16428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16367/16428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16367 ÷ 215
    16367 ÷ 32768     		x = 0.499481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16428 ÷ 215
    16428 ÷ 32768     		y = 0.5013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.00103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00325971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5013427734375 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00325971} λ = -0.00325971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00843689433312988))-π/2
    2×atan(0.991598596379266)-π/2
    2×0.781179766275672-π/2
    1.56235953255134-1.57079632675     		φ = -0.00843679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00325971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00843679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.483392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16367 KachelY 16428 -0.00325971 -0.00843679 -0.186768 -0.483392
    Oben rechts KachelX + 1 16368 KachelY 16428 -0.00306796 -0.00843679 -0.175781 -0.483392
    Unten links KachelX 16367 KachelY + 1 16429 -0.00325971 -0.00862853 -0.186768 -0.494378
    Unten rechts KachelX + 1 16368 KachelY + 1 16429 -0.00306796 -0.00862853 -0.175781 -0.494378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00843679--0.00862853) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00843679--0.00862853) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00325971--0.00306796) × cos(-0.00843679) × R
    0.00019175 × 0.999964410498352 × 6371000     		do = 1221.5957724679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00325971--0.00306796) × cos(-0.00862853) × R
    0.00019175 × 0.999962774465979 × 6371000     		du = 1221.59377382654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00843679)-sin(-0.00862853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999964410498352-0.999962774465979)×R²
    abs(-0.00306796--0.00325971)×1.63603237346432e-06×R²
    0.00019175×1.63603237346432e-06×6371000²
    0.00019175×1.63603237346432e-06×40589641000000     		ar = 1492270.29924035m²