Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16366 / 12123
↖ ↑ ↗
← N 42.334184°
W  0.197754°		 ← 903.07 m → N 42.334184°
W  0.186768°		 →
↑
903.09 m
↓
↑
903.09 m
↓
N 42.326062°
W  0.197754°		 ← 903.19 m →
815 607 m²		 N 42.326062°
W  0.186768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499465942382812 y=0.369979858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499465942382812 × 215)
    floor (0.499465942382812 × 32768)
    floor (16366.5)     		tx = 16366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369979858398438 × 215)
    floor (0.369979858398438 × 32768)
    floor (12123.5)     		ty = 12123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16366 / 12123 ti = "15/16366/12123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16366/12123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16366 ÷ 215
    16366 ÷ 32768     		x = 0.49945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12123 ÷ 215
    12123 ÷ 32768     		y = 0.369964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00345146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369964599609375 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.817036517124237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00345146} λ = -0.00345146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.817036517124237))-π/2
    2×atan(2.26378121032983)-π/2
    2×1.15483361522933-π/2
    2.30966723045865-1.57079632675     		φ = 0.73887090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00345146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73887090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.334184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16366 KachelY 12123 -0.00345146 0.73887090 -0.197754 42.334184
    Oben rechts KachelX + 1 16367 KachelY 12123 -0.00325971 0.73887090 -0.186768 42.334184
    Unten links KachelX 16366 KachelY + 1 12124 -0.00345146 0.73872915 -0.197754 42.326062
    Unten rechts KachelX + 1 16367 KachelY + 1 12124 -0.00325971 0.73872915 -0.186768 42.326062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73887090-0.73872915) × R
    0.000141750000000052 × 6371000     		dl = 903.089250000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73887090-0.73872915) × R
    0.000141750000000052 × 6371000     		dr = 903.089250000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00345146--0.00325971) × cos(0.73887090) × R
    0.00019175 × 0.739229426324362 × 6371000     		do = 903.071681952824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00345146--0.00325971) × cos(0.73872915) × R
    0.00019175 × 0.739324880956086 × 6371000     		du = 903.188293077532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73887090)-sin(0.73872915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739229426324362-0.739324880956086)×R²
    abs(-0.00325971--0.00345146)×9.54546317237792e-05×R²
    0.00019175×9.54546317237792e-05×6371000²
    0.00019175×9.54546317237792e-05×40589641000000     		ar = 815606.984443776m²