Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16365 / 16445
↖ ↑ ↗
← S  0.670151°
W  0.208740°		 ← 1 221.49 m → S  0.670151°
W  0.197754°		 →
↑
1 221.51 m
↓
↑
1 221.51 m
↓
S  0.681136°
W  0.208740°		 ← 1 221.49 m →
1 492 065 m²		 S  0.681136°
W  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499435424804688 y=0.501876831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499435424804688 × 215)
    floor (0.499435424804688 × 32768)
    floor (16365.5)     		tx = 16365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501876831054688 × 215)
    floor (0.501876831054688 × 32768)
    floor (16445.5)     		ty = 16445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16365 / 16445 ti = "15/16365/16445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16365/16445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16365 ÷ 215
    16365 ÷ 32768     		x = 0.499420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16445 ÷ 215
    16445 ÷ 32768     		y = 0.501861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.00115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00364320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00364320} λ = -0.00364320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0116966035072937))-π/2
    2×atan(0.988371535834474)-π/2
    2×0.779549994990788-π/2
    1.55909998998158-1.57079632675     		φ = -0.01169634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00364320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01169634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.670151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16365 KachelY 16445 -0.00364320 -0.01169634 -0.208740 -0.670151
    Oben rechts KachelX + 1 16366 KachelY 16445 -0.00345146 -0.01169634 -0.197754 -0.670151
    Unten links KachelX 16365 KachelY + 1 16446 -0.00364320 -0.01188807 -0.208740 -0.681136
    Unten rechts KachelX + 1 16366 KachelY + 1 16446 -0.00345146 -0.01188807 -0.197754 -0.681136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01169634--0.01188807) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dl = 1221.51183000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01169634--0.01188807) × R
    0.000191730000000001 × 6371000     		dr = 1221.51183000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00364320--0.00345146) × cos(-0.01169634) × R
    0.00019174 × 0.999931598595108 × 6371000     		do = 1221.49198251688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00364320--0.00345146) × cos(-0.01188807) × R
    0.00019174 × 0.999929337728046 × 6371000     		du = 1221.48922069698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01169634)-sin(-0.01188807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999931598595108-0.999929337728046)×R²
    abs(-0.00345146--0.00364320)×2.26086706245354e-06×R²
    0.00019174×2.26086706245354e-06×6371000²
    0.00019174×2.26086706245354e-06×40589641000000     		ar = 1492065.22466744m²