Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16365 / 11557
↖ ↑ ↗
← N 46.762443°
W  0.208740°		 ← 836.81 m → N 46.762443°
W  0.197754°		 →
↑
836.89 m
↓
↑
836.89 m
↓
N 46.754917°
W  0.208740°		 ← 836.93 m →
700 370 m²		 N 46.754917°
W  0.197754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499435424804688 y=0.352706909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499435424804688 × 215)
    floor (0.499435424804688 × 32768)
    floor (16365.5)     		tx = 16365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352706909179688 × 215)
    floor (0.352706909179688 × 32768)
    floor (11557.5)     		ty = 11557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16365 / 11557 ti = "15/16365/11557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16365/11557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16365 ÷ 215
    16365 ÷ 32768     		x = 0.499420166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11557 ÷ 215
    11557 ÷ 32768     		y = 0.352691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.00115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00364320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352691650390625 × 2 - 1) × π
    0.29461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.925565657864044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00364320} λ = -0.00364320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925565657864044))-π/2
    2×atan(2.52329517850739)-π/2
    2×1.19347746215596-π/2
    2.38695492431192-1.57079632675     		φ = 0.81615860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00364320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.208740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81615860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.762443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16365 KachelY 11557 -0.00364320 0.81615860 -0.208740 46.762443
    Oben rechts KachelX + 1 16366 KachelY 11557 -0.00345146 0.81615860 -0.197754 46.762443
    Unten links KachelX 16365 KachelY + 1 11558 -0.00364320 0.81602724 -0.208740 46.754917
    Unten rechts KachelX + 1 16366 KachelY + 1 11558 -0.00345146 0.81602724 -0.197754 46.754917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81615860-0.81602724) × R
    0.000131359999999914 × 6371000     		dl = 836.894559999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81615860-0.81602724) × R
    0.000131359999999914 × 6371000     		dr = 836.894559999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00364320--0.00345146) × cos(0.81615860) × R
    0.00019174 × 0.685024790427807 × 6371000     		do = 836.809528280236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00364320--0.00345146) × cos(0.81602724) × R
    0.00019174 × 0.68512048287262 × 6371000     		du = 836.926423830183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81615860)-sin(0.81602724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685024790427807-0.68512048287262)×R²
    abs(-0.00345146--0.00364320)×9.56924448132224e-05×R²
    0.00019174×9.56924448132224e-05×6371000²
    0.00019174×9.56924448132224e-05×40589641000000     		ar = 700370.257605602m²