Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16363 / 16341
↖ ↑ ↗
← N  0.472407°
W  0.230713°		 ← 1 221.60 m → N  0.472407°
W  0.219726°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.461421°
W  0.230713°		 ← 1 221.60 m →
1 492 275 m²		 N  0.461421°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499374389648438 y=0.498703002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499374389648438 × 215)
    floor (0.499374389648438 × 32768)
    floor (16363.5)     		tx = 16363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498703002929688 × 215)
    floor (0.498703002929688 × 32768)
    floor (16341.5)     		ty = 16341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16363 / 16341 ti = "15/16363/16341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16363/16341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16363 ÷ 215
    16363 ÷ 32768     		x = 0.499359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16341 ÷ 215
    16341 ÷ 32768     		y = 0.498687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498687744140625 × 2 - 1) × π
    0.00262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.00824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00402670} λ = -0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00824514673464966))-π/2
    2×atan(1.00827923157074)-π/2
    2×0.789520690055131-π/2
    1.57904138011026-1.57079632675     		φ = 0.00824505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00824505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.472407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16363 KachelY 16341 -0.00402670 0.00824505 -0.230713 0.472407
    Oben rechts KachelX + 1 16364 KachelY 16341 -0.00383495 0.00824505 -0.219726 0.472407
    Unten links KachelX 16363 KachelY + 1 16342 -0.00402670 0.00805331 -0.230713 0.461421
    Unten rechts KachelX + 1 16364 KachelY + 1 16342 -0.00383495 0.00805331 -0.219726 0.461421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00824505-0.00805331) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00824505-0.00805331) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00402670--0.00383495) × cos(0.00824505) × R
    0.00019175 × 0.999966009767806 × 6371000     		do = 1221.59772619824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00402670--0.00383495) × cos(0.00805331) × R
    0.00019175 × 0.999967572274283 × 6371000     		du = 1221.59963501748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00824505)-sin(0.00805331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966009767806-0.999967572274283)×R²
    abs(-0.00383495--0.00402670)×1.56250647653788e-06×R²
    0.00019175×1.56250647653788e-06×6371000²
    0.00019175×1.56250647653788e-06×40589641000000     		ar = 1492275.0724987m²