Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16363 / 12023
↖ ↑ ↗
← N 43.141078°
W  0.230713°		 ← 891.40 m → N 43.141078°
W  0.219726°		 →
↑
891.49 m
↓
↑
891.49 m
↓
N 43.133061°
W  0.230713°		 ← 891.51 m →
794 727 m²		 N 43.133061°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499374389648438 y=0.366928100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499374389648438 × 215)
    floor (0.499374389648438 × 32768)
    floor (16363.5)     		tx = 16363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366928100585938 × 215)
    floor (0.366928100585938 × 32768)
    floor (12023.5)     		ty = 12023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16363 / 12023 ti = "15/16363/12023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16363/12023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16363 ÷ 215
    16363 ÷ 32768     		x = 0.499359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12023 ÷ 215
    12023 ÷ 32768     		y = 0.366912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.00128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00402670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366912841796875 × 2 - 1) × π
    0.26617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.836211276972259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00402670} λ = -0.00402670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836211276972259))-π/2
    2×atan(2.30760750795418)-π/2
    2×1.16187509129662-π/2
    2.32375018259323-1.57079632675     		φ = 0.75295386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00402670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75295386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.141078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16363 KachelY 12023 -0.00402670 0.75295386 -0.230713 43.141078
    Oben rechts KachelX + 1 16364 KachelY 12023 -0.00383495 0.75295386 -0.219726 43.141078
    Unten links KachelX 16363 KachelY + 1 12024 -0.00402670 0.75281393 -0.230713 43.133061
    Unten rechts KachelX + 1 16364 KachelY + 1 12024 -0.00383495 0.75281393 -0.219726 43.133061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75295386-0.75281393) × R
    0.00013993000000001 × 6371000     		dl = 891.494030000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75295386-0.75281393) × R
    0.00013993000000001 × 6371000     		dr = 891.494030000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00402670--0.00383495) × cos(0.75295386) × R
    0.00019175 × 0.729672214238087 × 6371000     		do = 891.396216547656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00402670--0.00383495) × cos(0.75281393) × R
    0.00019175 × 0.729767890820886 × 6371000     		du = 891.513098816509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75295386)-sin(0.75281393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729672214238087-0.729767890820886)×R²
    abs(-0.00383495--0.00402670)×9.56765827991868e-05×R²
    0.00019175×9.56765827991868e-05×6371000²
    0.00019175×9.56765827991868e-05×40589641000000     		ar = 794726.50663549m²