Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16362 / 11578
↖ ↑ ↗
← N 46.604167°
W  0.241699°		 ← 839.31 m → N 46.604167°
W  0.230713°		 →
↑
839.32 m
↓
↑
839.32 m
↓
N 46.596619°
W  0.241699°		 ← 839.43 m →
704 494 m²		 N 46.596619°
W  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499343872070312 y=0.353347778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499343872070312 × 215)
    floor (0.499343872070312 × 32768)
    floor (16362.5)     		tx = 16362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353347778320312 × 215)
    floor (0.353347778320312 × 32768)
    floor (11578.5)     		ty = 11578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16362 / 11578 ti = "15/16362/11578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16362/11578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16362 ÷ 215
    16362 ÷ 32768     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11578 ÷ 215
    11578 ÷ 32768     		y = 0.35333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35333251953125 × 2 - 1) × π
    0.2933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.921538958295959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.921538958295959))-π/2
    2×atan(2.51315505621622)-π/2
    2×1.19209624445989-π/2
    2.38419248891979-1.57079632675     		φ = 0.81339616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81339616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.604167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16362 KachelY 11578 -0.00421845 0.81339616 -0.241699 46.604167
    Oben rechts KachelX + 1 16363 KachelY 11578 -0.00402670 0.81339616 -0.230713 46.604167
    Unten links KachelX 16362 KachelY + 1 11579 -0.00421845 0.81326442 -0.241699 46.596619
    Unten rechts KachelX + 1 16363 KachelY + 1 11579 -0.00402670 0.81326442 -0.230713 46.596619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81339616-0.81326442) × R
    0.000131740000000047 × 6371000     		dl = 839.315540000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81339616-0.81326442) × R
    0.000131740000000047 × 6371000     		dr = 839.315540000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00402670) × cos(0.81339616) × R
    0.00019175 × 0.687034666250029 × 6371000     		do = 839.308514401686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00402670) × cos(0.81326442) × R
    0.00019175 × 0.687130385817928 × 6371000     		du = 839.425449182825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81339616)-sin(0.81326442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687034666250029-0.687130385817928)×R²
    abs(-0.00402670--0.00421845)×9.57195678988887e-05×R²
    0.00019175×9.57195678988887e-05×6371000²
    0.00019175×9.57195678988887e-05×40589641000000     		ar = 704493.752601071m²