Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16362 / 11562
↖ ↑ ↗
← N 46.724800°
W  0.241699°		 ← 837.44 m → N 46.724800°
W  0.230713°		 →
↑
837.47 m
↓
↑
837.47 m
↓
N 46.717269°
W  0.241699°		 ← 837.55 m →
701 376 m²		 N 46.717269°
W  0.230713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499343872070312 y=0.352859497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499343872070312 × 215)
    floor (0.499343872070312 × 32768)
    floor (16362.5)     		tx = 16362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352859497070312 × 215)
    floor (0.352859497070312 × 32768)
    floor (11562.5)     		ty = 11562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16362 / 11562 ti = "15/16362/11562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16362/11562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16362 ÷ 215
    16362 ÷ 32768     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11562 ÷ 215
    11562 ÷ 32768     		y = 0.35284423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35284423828125 × 2 - 1) × π
    0.2943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.924606919871643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.924606919871643))-π/2
    2×atan(2.52087715886258)-π/2
    2×1.1931489678259-π/2
    2.3862979356518-1.57079632675     		φ = 0.81550161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81550161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.724800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16362 KachelY 11562 -0.00421845 0.81550161 -0.241699 46.724800
    Oben rechts KachelX + 1 16363 KachelY 11562 -0.00402670 0.81550161 -0.230713 46.724800
    Unten links KachelX 16362 KachelY + 1 11563 -0.00421845 0.81537016 -0.241699 46.717269
    Unten rechts KachelX + 1 16363 KachelY + 1 11563 -0.00402670 0.81537016 -0.230713 46.717269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81550161-0.81537016) × R
    0.000131450000000033 × 6371000     		dl = 837.46795000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81550161-0.81537016) × R
    0.000131450000000033 × 6371000     		dr = 837.46795000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00402670) × cos(0.81550161) × R
    0.00019175 × 0.685503272747971 × 6371000     		do = 837.437703992378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00402670) × cos(0.81537016) × R
    0.00019175 × 0.685598971567008 × 6371000     		du = 837.554613425891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81550161)-sin(0.81537016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685503272747971-0.685598971567008)×R²
    abs(-0.00402670--0.00421845)×9.56988190367047e-05×R²
    0.00019175×9.56988190367047e-05×6371000²
    0.00019175×9.56988190367047e-05×40589641000000     		ar = 701376.192177191m²