Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16360 / 12024
↖ ↑ ↗
← N 43.133061°
W  0.263672°		 ← 891.51 m → N 43.133061°
W  0.252685°		 →
↑
891.56 m
↓
↑
891.56 m
↓
N 43.125043°
W  0.263672°		 ← 891.63 m →
794 888 m²		 N 43.125043°
W  0.252685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499282836914062 y=0.366958618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499282836914062 × 215)
    floor (0.499282836914062 × 32768)
    floor (16360.5)     		tx = 16360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366958618164062 × 215)
    floor (0.366958618164062 × 32768)
    floor (12024.5)     		ty = 12024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16360 / 12024 ti = "15/16360/12024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16360/12024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16360 ÷ 215
    16360 ÷ 32768     		x = 0.499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12024 ÷ 215
    12024 ÷ 32768     		y = 0.366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366943359375 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.836019529373779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00460194} λ = -0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836019529373779))-π/2
    2×atan(2.30716507217565)-π/2
    2×1.16180513026277-π/2
    2.32361026052554-1.57079632675     		φ = 0.75281393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75281393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.133061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16360 KachelY 12024 -0.00460194 0.75281393 -0.263672 43.133061
    Oben rechts KachelX + 1 16361 KachelY 12024 -0.00441019 0.75281393 -0.252685 43.133061
    Unten links KachelX 16360 KachelY + 1 12025 -0.00460194 0.75267399 -0.263672 43.125043
    Unten rechts KachelX + 1 16361 KachelY + 1 12025 -0.00441019 0.75267399 -0.252685 43.125043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75281393-0.75267399) × R
    0.00013993999999995 × 6371000     		dl = 891.557739999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75281393-0.75267399) × R
    0.00013993999999995 × 6371000     		dr = 891.557739999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00460194--0.00441019) × cos(0.75281393) × R
    0.00019175 × 0.729767890820886 × 6371000     		do = 891.513098816509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00460194--0.00441019) × cos(0.75267399) × R
    0.00019175 × 0.729863559950463 × 6371000     		du = 891.629971980214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75281393)-sin(0.75267399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729767890820886-0.729863559950463)×R²
    abs(-0.00441019--0.00460194)×9.56691295769252e-05×R²
    0.00019175×9.56691295769252e-05×6371000²
    0.00019175×9.56691295769252e-05×40589641000000     		ar = 794887.504445593m²