Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16357 / 11367
↖ ↑ ↗
← N 48.173412°
W  0.296631°		 ← 814.68 m → N 48.173412°
W  0.285645°		 →
↑
814.72 m
↓
↑
814.72 m
↓
N 48.166086°
W  0.296631°		 ← 814.80 m →
663 790 m²		 N 48.166086°
W  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499191284179688 y=0.346908569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499191284179688 × 215)
    floor (0.499191284179688 × 32768)
    floor (16357.5)     		tx = 16357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346908569335938 × 215)
    floor (0.346908569335938 × 32768)
    floor (11367.5)     		ty = 11367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16357 / 11367 ti = "15/16357/11367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16357/11367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16357 ÷ 215
    16357 ÷ 32768     		x = 0.499176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11367 ÷ 215
    11367 ÷ 32768     		y = 0.346893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.00164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00517719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346893310546875 × 2 - 1) × π
    0.30621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.961997701575287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00517719} λ = -0.00517719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961997701575287))-π/2
    2×atan(2.61691907844852)-π/2
    2×1.20579049329437-π/2
    2.41158098658874-1.57079632675     		φ = 0.84078466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00517719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84078466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.173412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16357 KachelY 11367 -0.00517719 0.84078466 -0.296631 48.173412
    Oben rechts KachelX + 1 16358 KachelY 11367 -0.00498544 0.84078466 -0.285645 48.173412
    Unten links KachelX 16357 KachelY + 1 11368 -0.00517719 0.84065678 -0.296631 48.166086
    Unten rechts KachelX + 1 16358 KachelY + 1 11368 -0.00498544 0.84065678 -0.285645 48.166086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84078466-0.84065678) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dl = 814.723479999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84078466-0.84065678) × R
    0.000127879999999969 × 6371000     		dr = 814.723479999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00517719--0.00498544) × cos(0.84078466) × R
    0.00019175 × 0.666878328755227 × 6371000     		do = 814.684741381789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00517719--0.00498544) × cos(0.84065678) × R
    0.00019175 × 0.666973615209768 × 6371000     		du = 814.80114705465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84078466)-sin(0.84065678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666878328755227-0.666973615209768)×R²
    abs(-0.00498544--0.00517719)×9.52864545408216e-05×R²
    0.00019175×9.52864545408216e-05×6371000²
    0.00019175×9.52864545408216e-05×40589641000000     		ar = 663790.207723354m²