Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16356 / 16444
↖ ↑ ↗
← S  0.659165°
W  0.307617°		 ← 1 221.49 m → S  0.659165°
W  0.296631°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.670151°
W  0.307617°		 ← 1 221.49 m →
1 492 146 m²		 S  0.670151°
W  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499160766601562 y=0.501846313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499160766601562 × 215)
    floor (0.499160766601562 × 32768)
    floor (16356.5)     		tx = 16356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501846313476562 × 215)
    floor (0.501846313476562 × 32768)
    floor (16444.5)     		ty = 16444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16356 / 16444 ti = "15/16356/16444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16356/16444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16356 ÷ 215
    16356 ÷ 32768     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16444 ÷ 215
    16444 ÷ 32768     		y = 0.5018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(0.988561071873836)-π/2
    2×0.779645862339042-π/2
    1.55929172467808-1.57079632675     		φ = -0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16356 KachelY 16444 -0.00536893 -0.01150460 -0.307617 -0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 16357 KachelY 16444 -0.00517719 -0.01150460 -0.296631 -0.659165
    Unten links KachelX 16356 KachelY + 1 16445 -0.00536893 -0.01169634 -0.307617 -0.670151
    Unten rechts KachelX + 1 16357 KachelY + 1 16445 -0.00517719 -0.01169634 -0.296631 -0.670151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01150460--0.01169634) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01150460--0.01169634) × R
    0.000191739999999999 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00517719) × cos(-0.01150460) × R
    0.00019174 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 1221.4946995748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00517719) × cos(-0.01169634) × R
    0.00019174 × 0.999931598595108 × 6371000     		du = 1221.49198251688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01150460)-sin(-0.01169634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999931598595108)×R²
    abs(-0.00517719--0.00536893)×2.22422422757607e-06×R²
    0.00019174×2.22422422757607e-06×6371000²
    0.00019174×2.22422422757607e-06×40589641000000     		ar = 1492146.39226594m²