Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16356 / 12022
↖ ↑ ↗
← N 43.149094°
W  0.307617°		 ← 891.23 m → N 43.149094°
W  0.296631°		 →
↑
891.30 m
↓
↑
891.30 m
↓
N 43.141078°
W  0.307617°		 ← 891.35 m →
794 411 m²		 N 43.141078°
W  0.296631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499160766601562 y=0.366897583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499160766601562 × 215)
    floor (0.499160766601562 × 32768)
    floor (16356.5)     		tx = 16356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366897583007812 × 215)
    floor (0.366897583007812 × 32768)
    floor (12022.5)     		ty = 12022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16356 / 12022 ti = "15/16356/12022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16356/12022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16356 ÷ 215
    16356 ÷ 32768     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12022 ÷ 215
    12022 ÷ 32768     		y = 0.36688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36688232421875 × 2 - 1) × π
    0.2662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.83640302457074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.83640302457074))-π/2
    2×atan(2.30805002857684)-π/2
    2×1.16194504315802-π/2
    2.32389008631604-1.57079632675     		φ = 0.75309376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75309376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.149094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16356 KachelY 12022 -0.00536893 0.75309376 -0.307617 43.149094
    Oben rechts KachelX + 1 16357 KachelY 12022 -0.00517719 0.75309376 -0.296631 43.149094
    Unten links KachelX 16356 KachelY + 1 12023 -0.00536893 0.75295386 -0.307617 43.141078
    Unten rechts KachelX + 1 16357 KachelY + 1 12023 -0.00517719 0.75295386 -0.296631 43.141078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75309376-0.75295386) × R
    0.000139899999999971 × 6371000     		dl = 891.302899999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75309376-0.75295386) × R
    0.000139899999999971 × 6371000     		dr = 891.302899999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00517719) × cos(0.75309376) × R
    0.00019174 × 0.729576543884985 × 6371000     		do = 891.232860567635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00517719) × cos(0.75295386) × R
    0.00019174 × 0.729672214238087 × 6371000     		du = 891.349729130887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75309376)-sin(0.75295386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729576543884985-0.729672214238087)×R²
    abs(-0.00517719--0.00536893)×9.56703531012071e-05×R²
    0.00019174×9.56703531012071e-05×6371000²
    0.00019174×9.56703531012071e-05×40589641000000     		ar = 794410.517139959m²