Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16354 / 11370
↖ ↑ ↗
← N 48.151428°
W  0.329590°		 ← 815.03 m → N 48.151428°
W  0.318603°		 →
↑
815.11 m
↓
↑
815.11 m
↓
N 48.144098°
W  0.329590°		 ← 815.15 m →
664 386 m²		 N 48.144098°
W  0.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499099731445312 y=0.347000122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499099731445312 × 215)
    floor (0.499099731445312 × 32768)
    floor (16354.5)     		tx = 16354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347000122070312 × 215)
    floor (0.347000122070312 × 32768)
    floor (11370.5)     		ty = 11370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16354 / 11370 ti = "15/16354/11370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16354/11370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16354 ÷ 215
    16354 ÷ 32768     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11370 ÷ 215
    11370 ÷ 32768     		y = 0.34698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961422458779846))-π/2
    2×atan(2.61541414749423)-π/2
    2×1.20559864370662-π/2
    2.41119728741323-1.57079632675     		φ = 0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16354 KachelY 11370 -0.00575243 0.84040096 -0.329590 48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 16355 KachelY 11370 -0.00556068 0.84040096 -0.318603 48.151428
    Unten links KachelX 16354 KachelY + 1 11371 -0.00575243 0.84027302 -0.329590 48.144098
    Unten rechts KachelX + 1 16355 KachelY + 1 11371 -0.00556068 0.84027302 -0.318603 48.144098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84040096-0.84027302) × R
    0.000127939999999938 × 6371000     		dl = 815.105739999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84040096-0.84027302) × R
    0.000127939999999938 × 6371000     		dr = 815.105739999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00556068) × cos(0.84040096) × R
    0.00019175 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 815.033973025147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00556068) × cos(0.84027302) × R
    0.00019175 × 0.667259498502907 × 6371000     		du = 815.150393306467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84040096)-sin(0.84027302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667259498502907)×R²
    abs(-0.00556068--0.00575243)×9.52984126203482e-05×R²
    0.00019175×9.52984126203482e-05×6371000²
    0.00019175×9.52984126203482e-05×40589641000000     		ar = 664386.31803294m²