Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16354 / 11365
↖ ↑ ↗
← N 48.188064°
W  0.329590°		 ← 814.45 m → N 48.188064°
W  0.318603°		 →
↑
814.53 m
↓
↑
814.53 m
↓
N 48.180738°
W  0.329590°		 ← 814.57 m →
663 445 m²		 N 48.180738°
W  0.318603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499099731445312 y=0.346847534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499099731445312 × 215)
    floor (0.499099731445312 × 32768)
    floor (16354.5)     		tx = 16354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346847534179688 × 215)
    floor (0.346847534179688 × 32768)
    floor (11365.5)     		ty = 11365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16354 / 11365 ti = "15/16354/11365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16354/11365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16354 ÷ 215
    16354 ÷ 32768     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11365 ÷ 215
    11365 ÷ 32768     		y = 0.346832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346832275390625 × 2 - 1) × π
    0.30633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.962381196772247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.962381196772247))-π/2
    2×atan(2.61792284680381)-π/2
    2×1.20591834734187-π/2
    2.41183669468374-1.57079632675     		φ = 0.84104037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84104037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.188064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16354 KachelY 11365 -0.00575243 0.84104037 -0.329590 48.188064
    Oben rechts KachelX + 1 16355 KachelY 11365 -0.00556068 0.84104037 -0.318603 48.188064
    Unten links KachelX 16354 KachelY + 1 11366 -0.00575243 0.84091252 -0.329590 48.180738
    Unten rechts KachelX + 1 16355 KachelY + 1 11366 -0.00556068 0.84091252 -0.318603 48.180738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84104037-0.84091252) × R
    0.000127849999999929 × 6371000     		dl = 814.53234999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84104037-0.84091252) × R
    0.000127849999999929 × 6371000     		dr = 814.53234999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00556068) × cos(0.84104037) × R
    0.00019175 × 0.666687760397588 × 6371000     		do = 814.451935596289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00556068) × cos(0.84091252) × R
    0.00019175 × 0.666783046300066 × 6371000     		du = 814.568340594728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84104037)-sin(0.84091252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666687760397588-0.666783046300066)×R²
    abs(-0.00556068--0.00575243)×9.52859024783148e-05×R²
    0.00019175×9.52859024783148e-05×6371000²
    0.00019175×9.52859024783148e-05×40589641000000     		ar = 663444.857784426m²