Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16353 / 11555
↖ ↑ ↗
← N 46.777493°
W  0.340576°		 ← 836.62 m → N 46.777493°
W  0.329590°		 →
↑
836.64 m
↓
↑
836.64 m
↓
N 46.769968°
W  0.340576°		 ← 836.74 m →
699 998 m²		 N 46.769968°
W  0.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499069213867188 y=0.352645874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499069213867188 × 215)
    floor (0.499069213867188 × 32768)
    floor (16353.5)     		tx = 16353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352645874023438 × 215)
    floor (0.352645874023438 × 32768)
    floor (11555.5)     		ty = 11555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16353 / 11555 ti = "15/16353/11555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16353/11555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16353 ÷ 215
    16353 ÷ 32768     		x = 0.499053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11555 ÷ 215
    11555 ÷ 32768     		y = 0.352630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.00189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00594418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352630615234375 × 2 - 1) × π
    0.29473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.925949153061005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00594418} λ = -0.00594418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925949153061005))-π/2
    2×atan(2.52426303566129)-π/2
    2×1.19360879566618-π/2
    2.38721759133235-1.57079632675     		φ = 0.81642126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00594418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81642126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.777493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16353 KachelY 11555 -0.00594418 0.81642126 -0.340576 46.777493
    Oben rechts KachelX + 1 16354 KachelY 11555 -0.00575243 0.81642126 -0.329590 46.777493
    Unten links KachelX 16353 KachelY + 1 11556 -0.00594418 0.81628994 -0.340576 46.769968
    Unten rechts KachelX + 1 16354 KachelY + 1 11556 -0.00575243 0.81628994 -0.329590 46.769968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81642126-0.81628994) × R
    0.000131320000000046 × 6371000     		dl = 836.639720000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81642126-0.81628994) × R
    0.000131320000000046 × 6371000     		dr = 836.639720000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00594418--0.00575243) × cos(0.81642126) × R
    0.00019175 × 0.68483341380058 × 6371000     		do = 836.619378010281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00594418--0.00575243) × cos(0.81628994) × R
    0.00019175 × 0.684929100734778 × 6371000     		du = 836.736272924809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81642126)-sin(0.81628994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68483341380058-0.684929100734778)×R²
    abs(-0.00575243--0.00594418)×9.56869341971478e-05×R²
    0.00019175×9.56869341971478e-05×6371000²
    0.00019175×9.56869341971478e-05×40589641000000     		ar = 699997.902635838m²