Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16351 / 12011
↖ ↑ ↗
← N 43.237199°
W  0.362549°		 ← 889.99 m → N 43.237199°
W  0.351562°		 →
↑
890.03 m
↓
↑
890.03 m
↓
N 43.229195°
W  0.362549°		 ← 890.11 m →
792 172 m²		 N 43.229195°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499008178710938 y=0.366561889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499008178710938 × 215)
    floor (0.499008178710938 × 32768)
    floor (16351.5)     		tx = 16351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366561889648438 × 215)
    floor (0.366561889648438 × 32768)
    floor (12011.5)     		ty = 12011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16351 / 12011 ti = "15/16351/12011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16351/12011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16351 ÷ 215
    16351 ÷ 32768     		x = 0.498992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12011 ÷ 215
    12011 ÷ 32768     		y = 0.366546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.00201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00632767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    0.26690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838512248154022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00632767} λ = -0.00632767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838512248154022))-π/2
    2×atan(2.31292335979437)-π/2
    2×1.16271390820532-π/2
    2.32542781641064-1.57079632675     		φ = 0.75463149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00632767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75463149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.237199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16351 KachelY 12011 -0.00632767 0.75463149 -0.362549 43.237199
    Oben rechts KachelX + 1 16352 KachelY 12011 -0.00613592 0.75463149 -0.351562 43.237199
    Unten links KachelX 16351 KachelY + 1 12012 -0.00632767 0.75449179 -0.362549 43.229195
    Unten rechts KachelX + 1 16352 KachelY + 1 12012 -0.00613592 0.75449179 -0.351562 43.229195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75463149-0.75449179) × R
    0.000139699999999965 × 6371000     		dl = 890.028699999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75463149-0.75449179) × R
    0.000139699999999965 × 6371000     		dr = 890.028699999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00632767--0.00613592) × cos(0.75463149) × R
    0.00019175 × 0.72852402945476 × 6371000     		do = 889.993548950091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00632767--0.00613592) × cos(0.75449179) × R
    0.00019175 × 0.728619719673954 × 6371000     		du = 890.1104478777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75463149)-sin(0.75449179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72852402945476-0.728619719673954)×R²
    abs(-0.00613592--0.00632767)×9.5690219194533e-05×R²
    0.00019175×9.5690219194533e-05×6371000²
    0.00019175×9.5690219194533e-05×40589641000000     		ar = 792171.824369513m²