Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16349 / 11349
↖ ↑ ↗
← N 48.305121°
W  0.384522°		 ← 812.59 m → N 48.305121°
W  0.373535°		 →
↑
812.62 m
↓
↑
812.62 m
↓
N 48.297813°
W  0.384522°		 ← 812.71 m →
660 375 m²		 N 48.297813°
W  0.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498947143554688 y=0.346359252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498947143554688 × 215)
    floor (0.498947143554688 × 32768)
    floor (16349.5)     		tx = 16349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346359252929688 × 215)
    floor (0.346359252929688 × 32768)
    floor (11349.5)     		ty = 11349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16349 / 11349 ti = "15/16349/11349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16349/11349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16349 ÷ 215
    16349 ÷ 32768     		x = 0.498931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11349 ÷ 215
    11349 ÷ 32768     		y = 0.346343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.00213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00671117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346343994140625 × 2 - 1) × π
    0.30731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965449158347931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00671117} λ = -0.00671117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965449158347931))-π/2
    2×atan(2.62596686656823)-π/2
    2×1.20693986446919-π/2
    2.41387972893838-1.57079632675     		φ = 0.84308340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00671117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84308340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.305121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16349 KachelY 11349 -0.00671117 0.84308340 -0.384522 48.305121
    Oben rechts KachelX + 1 16350 KachelY 11349 -0.00651942 0.84308340 -0.373535 48.305121
    Unten links KachelX 16349 KachelY + 1 11350 -0.00671117 0.84295585 -0.384522 48.297813
    Unten rechts KachelX + 1 16350 KachelY + 1 11350 -0.00651942 0.84295585 -0.373535 48.297813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84308340-0.84295585) × R
    0.000127550000000087 × 6371000     		dl = 812.621050000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84308340-0.84295585) × R
    0.000127550000000087 × 6371000     		dr = 812.621050000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00671117--0.00651942) × cos(0.84308340) × R
    0.00019175 × 0.665163623982698 × 6371000     		do = 812.589990729505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00671117--0.00651942) × cos(0.84295585) × R
    0.00019175 × 0.665258859854601 × 6371000     		du = 812.70633460863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84308340)-sin(0.84295585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665163623982698-0.665258859854601)×R²
    abs(-0.00651942--0.00671117)×9.52358719030766e-05×R²
    0.00019175×9.52358719030766e-05×6371000²
    0.00019175×9.52358719030766e-05×40589641000000     		ar = 660375.004123794m²