Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16349 / 10910
↖ ↑ ↗
← N 51.412912°
W  0.384522°		 ← 761.94 m → N 51.412912°
W  0.373535°		 →
↑
761.97 m
↓
↑
761.97 m
↓
N 51.406059°
W  0.384522°		 ← 762.05 m →
580 621 m²		 N 51.406059°
W  0.373535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498947143554688 y=0.332962036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498947143554688 × 215)
    floor (0.498947143554688 × 32768)
    floor (16349.5)     		tx = 16349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332962036132812 × 215)
    floor (0.332962036132812 × 32768)
    floor (10910.5)     		ty = 10910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16349 / 10910 ti = "15/16349/10910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16349/10910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16349 ÷ 215
    16349 ÷ 32768     		x = 0.498931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10910 ÷ 215
    10910 ÷ 32768     		y = 0.33294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.00213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00671117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33294677734375 × 2 - 1) × π
    0.3341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04962635408075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00671117} λ = -0.00671117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04962635408075))-π/2
    2×atan(2.85658356783957)-π/2
    2×1.23406046073598-π/2
    2.46812092147196-1.57079632675     		φ = 0.89732459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00671117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89732459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.412912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16349 KachelY 10910 -0.00671117 0.89732459 -0.384522 51.412912
    Oben rechts KachelX + 1 16350 KachelY 10910 -0.00651942 0.89732459 -0.373535 51.412912
    Unten links KachelX 16349 KachelY + 1 10911 -0.00671117 0.89720499 -0.384522 51.406059
    Unten rechts KachelX + 1 16350 KachelY + 1 10911 -0.00651942 0.89720499 -0.373535 51.406059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89732459-0.89720499) × R
    0.000119599999999997 × 6371000     		dl = 761.971599999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89732459-0.89720499) × R
    0.000119599999999997 × 6371000     		dr = 761.971599999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00671117--0.00651942) × cos(0.89732459) × R
    0.00019175 × 0.62370346173343 × 6371000     		do = 761.940629214431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00671117--0.00651942) × cos(0.89720499) × R
    0.00019175 × 0.623796943933607 × 6371000     		du = 762.054830739344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89732459)-sin(0.89720499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62370346173343-0.623796943933607)×R²
    abs(-0.00651942--0.00671117)×9.34822001772417e-05×R²
    0.00019175×9.34822001772417e-05×6371000²
    0.00019175×9.34822001772417e-05×40589641000000     		ar = 580620.630198175m²