Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16348 / 16440
↖ ↑ ↗
← S  0.615223°
W  0.395508°		 ← 1 221.51 m → S  0.615223°
W  0.384522°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
S  0.626208°
W  0.395508°		 ← 1 221.50 m →
1 492 159 m²		 S  0.626208°
W  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498916625976562 y=0.501724243164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498916625976562 × 215)
    floor (0.498916625976562 × 32768)
    floor (16348.5)     		tx = 16348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501724243164062 × 215)
    floor (0.501724243164062 × 32768)
    floor (16440.5)     		ty = 16440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16348 / 16440 ti = "15/16348/16440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16348/16440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16348 ÷ 215
    16348 ÷ 32768     		x = 0.4989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16440 ÷ 215
    16440 ÷ 32768     		y = 0.501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00690291} λ = -0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0107378655148926))-π/2
    2×atan(0.989319579566641)-π/2
    2×0.78002933381159-π/2
    1.56005866762318-1.57079632675     		φ = -0.01073766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01073766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.615223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16348 KachelY 16440 -0.00690291 -0.01073766 -0.395508 -0.615223
    Oben rechts KachelX + 1 16349 KachelY 16440 -0.00671117 -0.01073766 -0.384522 -0.615223
    Unten links KachelX 16348 KachelY + 1 16441 -0.00690291 -0.01092940 -0.395508 -0.626208
    Unten rechts KachelX + 1 16349 KachelY + 1 16441 -0.00671117 -0.01092940 -0.384522 -0.626208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01073766--0.01092940) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01073766--0.01092940) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00690291--0.00671117) × cos(-0.01073766) × R
    0.00019174 × 0.999942351882755 × 6371000     		do = 1221.50511847005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00690291--0.00671117) × cos(-0.01092940) × R
    0.00019174 × 0.999940274702348 × 6371000     		du = 1221.50258103727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01073766)-sin(-0.01092940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999942351882755-0.999940274702348)×R²
    abs(-0.00671117--0.00690291)×2.07718040690086e-06×R²
    0.00019174×2.07718040690086e-06×6371000²
    0.00019174×2.07718040690086e-06×40589641000000     		ar = 1492159.22944642m²