Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16348 / 10828
↖ ↑ ↗
← N 51.971346°
W  0.395508°		 ← 752.56 m → N 51.971346°
W  0.384522°		 →
↑
752.61 m
↓
↑
752.61 m
↓
N 51.964577°
W  0.395508°		 ← 752.67 m →
566 423 m²		 N 51.964577°
W  0.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498916625976562 y=0.330459594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498916625976562 × 215)
    floor (0.498916625976562 × 32768)
    floor (16348.5)     		tx = 16348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330459594726562 × 215)
    floor (0.330459594726562 × 32768)
    floor (10828.5)     		ty = 10828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16348 / 10828 ti = "15/16348/10828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16348/10828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16348 ÷ 215
    16348 ÷ 32768     		x = 0.4989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10828 ÷ 215
    10828 ÷ 32768     		y = 0.3304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00690291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3304443359375 × 2 - 1) × π
    0.339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06534965715613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00690291} λ = -0.00690291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06534965715613))-π/2
    2×atan(2.90185346051833)-π/2
    2×1.23893371391658-π/2
    2.47786742783316-1.57079632675     		φ = 0.90707110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00690291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90707110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.971346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16348 KachelY 10828 -0.00690291 0.90707110 -0.395508 51.971346
    Oben rechts KachelX + 1 16349 KachelY 10828 -0.00671117 0.90707110 -0.384522 51.971346
    Unten links KachelX 16348 KachelY + 1 10829 -0.00690291 0.90695297 -0.395508 51.964577
    Unten rechts KachelX + 1 16349 KachelY + 1 10829 -0.00671117 0.90695297 -0.384522 51.964577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90707110-0.90695297) × R
    0.00011813000000005 × 6371000     		dl = 752.606230000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90707110-0.90695297) × R
    0.00011813000000005 × 6371000     		dr = 752.606230000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00690291--0.00671117) × cos(0.90707110) × R
    0.00019174 × 0.616055491192557 × 6371000     		do = 752.558319323514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00690291--0.00671117) × cos(0.90695297) × R
    0.00019174 × 0.61614853822047 × 6371000     		du = 752.671983296882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90707110)-sin(0.90695297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616055491192557-0.61614853822047)×R²
    abs(-0.00671117--0.00690291)×9.304702791324e-05×R²
    0.00019174×9.304702791324e-05×6371000²
    0.00019174×9.304702791324e-05×40589641000000     		ar = 566422.852328014m²