Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16347 / 11373
↖ ↑ ↗
← N 48.129435°
W  0.406494°		 ← 815.38 m → N 48.129435°
W  0.395508°		 →
↑
815.42 m
↓
↑
815.42 m
↓
N 48.122101°
W  0.406494°		 ← 815.50 m →
664 931 m²		 N 48.122101°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498886108398438 y=0.347091674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498886108398438 × 215)
    floor (0.498886108398438 × 32768)
    floor (16347.5)     		tx = 16347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347091674804688 × 215)
    floor (0.347091674804688 × 32768)
    floor (11373.5)     		ty = 11373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16347 / 11373 ti = "15/16347/11373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16347/11373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16347 ÷ 215
    16347 ÷ 32768     		x = 0.498870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11373 ÷ 215
    11373 ÷ 32768     		y = 0.347076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00709466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347076416015625 × 2 - 1) × π
    0.30584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960847215984406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00709466} λ = -0.00709466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960847215984406))-π/2
    2×atan(2.61391008199169)-π/2
    2×1.20540671189284-π/2
    2.41081342378567-1.57079632675     		φ = 0.84001710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00709466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84001710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.129435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16347 KachelY 11373 -0.00709466 0.84001710 -0.406494 48.129435
    Oben rechts KachelX + 1 16348 KachelY 11373 -0.00690291 0.84001710 -0.395508 48.129435
    Unten links KachelX 16347 KachelY + 1 11374 -0.00709466 0.83988911 -0.406494 48.122101
    Unten rechts KachelX + 1 16348 KachelY + 1 11374 -0.00690291 0.83988911 -0.395508 48.122101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84001710-0.83988911) × R
    0.000127989999999967 × 6371000     		dl = 815.424289999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84001710-0.83988911) × R
    0.000127989999999967 × 6371000     		dr = 815.424289999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00709466--0.00690291) × cos(0.84001710) × R
    0.00019175 × 0.667450092346371 × 6371000     		do = 815.383230226452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00709466--0.00690291) × cos(0.83988911) × R
    0.00019175 × 0.667545395212953 × 6371000     		du = 815.499655948906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84001710)-sin(0.83988911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667450092346371-0.667545395212953)×R²
    abs(-0.00690291--0.00709466)×9.53028665825473e-05×R²
    0.00019175×9.53028665825473e-05×6371000²
    0.00019175×9.53028665825473e-05×40589641000000     		ar = 664930.760673367m²