Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16347 / 11372
↖ ↑ ↗
← N 48.136767°
W  0.406494°		 ← 815.27 m → N 48.136767°
W  0.395508°		 →
↑
815.30 m
↓
↑
815.30 m
↓
N 48.129435°
W  0.406494°		 ← 815.38 m →
664 732 m²		 N 48.129435°
W  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498886108398438 y=0.347061157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498886108398438 × 215)
    floor (0.498886108398438 × 32768)
    floor (16347.5)     		tx = 16347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347061157226562 × 215)
    floor (0.347061157226562 × 32768)
    floor (11372.5)     		ty = 11372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16347 / 11372 ti = "15/16347/11372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16347/11372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16347 ÷ 215
    16347 ÷ 32768     		x = 0.498870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11372 ÷ 215
    11372 ÷ 32768     		y = 0.3470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00225830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00709466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00709466} λ = -0.00709466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961038963582886))-π/2
    2×atan(2.61441134102863)-π/2
    2×1.20547069830075-π/2
    2.4109413966015-1.57079632675     		φ = 0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00709466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.406494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16347 KachelY 11372 -0.00709466 0.84014507 -0.406494 48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 16348 KachelY 11372 -0.00690291 0.84014507 -0.395508 48.136767
    Unten links KachelX 16347 KachelY + 1 11373 -0.00709466 0.84001710 -0.406494 48.129435
    Unten rechts KachelX + 1 16348 KachelY + 1 11373 -0.00690291 0.84001710 -0.395508 48.129435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84014507-0.84001710) × R
    0.000127970000000088 × 6371000     		dl = 815.296870000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84014507-0.84001710) × R
    0.000127970000000088 × 6371000     		dr = 815.296870000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00709466--0.00690291) × cos(0.84014507) × R
    0.00019175 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 815.266809342916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00709466--0.00690291) × cos(0.84001710) × R
    0.00019175 × 0.667450092346371 × 6371000     		du = 815.383230226452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84014507)-sin(0.84001710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667450092346371)×R²
    abs(-0.00690291--0.00709466)×9.52989055773568e-05×R²
    0.00019175×9.52989055773568e-05×6371000²
    0.00019175×9.52989055773568e-05×40589641000000     		ar = 664731.937570814m²