Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16344 / 11091
↖ ↑ ↗
← N 50.155786°
W  0.439453°		 ← 782.67 m → N 50.155786°
W  0.428467°		 →
↑
782.74 m
↓
↑
782.74 m
↓
N 50.148746°
W  0.439453°		 ← 782.78 m →
612 670 m²		 N 50.148746°
W  0.428467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498794555664062 y=0.338485717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498794555664062 × 215)
    floor (0.498794555664062 × 32768)
    floor (16344.5)     		tx = 16344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338485717773438 × 215)
    floor (0.338485717773438 × 32768)
    floor (11091.5)     		ty = 11091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16344 / 11091 ti = "15/16344/11091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16344/11091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16344 ÷ 215
    16344 ÷ 32768     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11091 ÷ 215
    11091 ÷ 32768     		y = 0.338470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338470458984375 × 2 - 1) × π
    0.32305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01492003875583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01492003875583))-π/2
    2×atan(2.75914276406708)-π/2
    2×1.22308996470079-π/2
    2.44617992940157-1.57079632675     		φ = 0.87538360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87538360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.155786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16344 KachelY 11091 -0.00766990 0.87538360 -0.439453 50.155786
    Oben rechts KachelX + 1 16345 KachelY 11091 -0.00747816 0.87538360 -0.428467 50.155786
    Unten links KachelX 16344 KachelY + 1 11092 -0.00766990 0.87526074 -0.439453 50.148746
    Unten rechts KachelX + 1 16345 KachelY + 1 11092 -0.00747816 0.87526074 -0.428467 50.148746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87538360-0.87526074) × R
    0.000122860000000058 × 6371000     		dl = 782.741060000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87538360-0.87526074) × R
    0.000122860000000058 × 6371000     		dr = 782.741060000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00747816) × cos(0.87538360) × R
    0.00019174 × 0.640702381322078 × 6371000     		do = 782.666357442804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00747816) × cos(0.87526074) × R
    0.00019174 × 0.640796707083623 × 6371000     		du = 782.781583485899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87538360)-sin(0.87526074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640702381322078-0.640796707083623)×R²
    abs(-0.00747816--0.00766990)×9.43257615445559e-05×R²
    0.00019174×9.43257615445559e-05×6371000²
    0.00019174×9.43257615445559e-05×40589641000000     		ar = 612670.191099388m²