Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16343 / 12124
↖ ↑ ↗
← N 42.326062°
W  0.450439°		 ← 903.19 m → N 42.326062°
W  0.439453°		 →
↑
903.22 m
↓
↑
903.22 m
↓
N 42.317940°
W  0.450439°		 ← 903.30 m →
815 827 m²		 N 42.317940°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498764038085938 y=0.370010375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498764038085938 × 215)
    floor (0.498764038085938 × 32768)
    floor (16343.5)     		tx = 16343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370010375976562 × 215)
    floor (0.370010375976562 × 32768)
    floor (12124.5)     		ty = 12124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16343 / 12124 ti = "15/16343/12124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16343/12124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16343 ÷ 215
    16343 ÷ 32768     		x = 0.498748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12124 ÷ 215
    12124 ÷ 32768     		y = 0.3699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00786165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3699951171875 × 2 - 1) × π
    0.260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.816844769525757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00786165} λ = -0.00786165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816844769525757))-π/2
    2×atan(2.26334717733299)-π/2
    2×1.15476273791998-π/2
    2.30952547583996-1.57079632675     		φ = 0.73872915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00786165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73872915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.326062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16343 KachelY 12124 -0.00786165 0.73872915 -0.450439 42.326062
    Oben rechts KachelX + 1 16344 KachelY 12124 -0.00766990 0.73872915 -0.439453 42.326062
    Unten links KachelX 16343 KachelY + 1 12125 -0.00786165 0.73858738 -0.450439 42.317940
    Unten rechts KachelX + 1 16344 KachelY + 1 12125 -0.00766990 0.73858738 -0.439453 42.317940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73872915-0.73858738) × R
    0.00014176999999993 × 6371000     		dl = 903.216669999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73872915-0.73858738) × R
    0.00014176999999993 × 6371000     		dr = 903.216669999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00786165--0.00766990) × cos(0.73872915) × R
    0.000191749999999999 × 0.739324880956086 × 6371000     		do = 903.188293077528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00786165--0.00766990) × cos(0.73858738) × R
    0.000191749999999999 × 0.73942033419739 × 6371000     		du = 903.304902503645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73872915)-sin(0.73858738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739324880956086-0.73942033419739)×R²
    abs(-0.00766990--0.00786165)×9.54532413039999e-05×R²
    0.000191749999999999×9.54532413039999e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.54532413039999e-05×40589641000000     		ar = 815827.385611678m²