Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16343 / 11975
↖ ↑ ↗
← N 43.524655°
W  0.450439°		 ← 885.78 m → N 43.524655°
W  0.439453°		 →
↑
885.89 m
↓
↑
885.89 m
↓
N 43.516688°
W  0.450439°		 ← 885.90 m →
784 757 m²		 N 43.516688°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498764038085938 y=0.365463256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498764038085938 × 215)
    floor (0.498764038085938 × 32768)
    floor (16343.5)     		tx = 16343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365463256835938 × 215)
    floor (0.365463256835938 × 32768)
    floor (11975.5)     		ty = 11975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16343 / 11975 ti = "15/16343/11975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16343/11975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16343 ÷ 215
    16343 ÷ 32768     		x = 0.498748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11975 ÷ 215
    11975 ÷ 32768     		y = 0.365447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00786165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365447998046875 × 2 - 1) × π
    0.26910400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.84541516169931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00786165} λ = -0.00786165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84541516169931))-π/2
    2×atan(2.32894450244769)-π/2
    2×1.16522243122096-π/2
    2.33044486244193-1.57079632675     		φ = 0.75964854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00786165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.450439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75964854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.524655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16343 KachelY 11975 -0.00786165 0.75964854 -0.450439 43.524655
    Oben rechts KachelX + 1 16344 KachelY 11975 -0.00766990 0.75964854 -0.439453 43.524655
    Unten links KachelX 16343 KachelY + 1 11976 -0.00786165 0.75950949 -0.450439 43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 16344 KachelY + 1 11976 -0.00766990 0.75950949 -0.439453 43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75964854-0.75950949) × R
    0.000139050000000029 × 6371000     		dl = 885.887550000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75964854-0.75950949) × R
    0.000139050000000029 × 6371000     		dr = 885.887550000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00786165--0.00766990) × cos(0.75964854) × R
    0.000191749999999999 × 0.72507809429965 × 6371000     		do = 885.78385931165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00786165--0.00766990) × cos(0.75950949) × R
    0.000191749999999999 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 885.900833820563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75964854)-sin(0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72507809429965-0.725173846387604)×R²
    abs(-0.00766990--0.00786165)×9.57520879535378e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57520879535378e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57520879535378e-05×40589641000000     		ar = 784756.707350339m²