Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16342 / 11978
↖ ↑ ↗
← N 43.500753°
W  0.461426°		 ← 886.13 m → N 43.500753°
W  0.450439°		 →
↑
886.21 m
↓
↑
886.21 m
↓
N 43.492783°
W  0.461426°		 ← 886.25 m →
785 350 m²		 N 43.492783°
W  0.450439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498733520507812 y=0.365554809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498733520507812 × 215)
    floor (0.498733520507812 × 32768)
    floor (16342.5)     		tx = 16342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365554809570312 × 215)
    floor (0.365554809570312 × 32768)
    floor (11978.5)     		ty = 11978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16342 / 11978 ti = "15/16342/11978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16342/11978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16342 ÷ 215
    16342 ÷ 32768     		x = 0.49871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11978 ÷ 215
    11978 ÷ 32768     		y = 0.36553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00805340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36553955078125 × 2 - 1) × π
    0.2689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.84483991890387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00805340} λ = -0.00805340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.84483991890387))-π/2
    2×atan(2.32760517915665)-π/2
    2×1.16501384193756-π/2
    2.33002768387512-1.57079632675     		φ = 0.75923136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00805340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75923136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.500753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16342 KachelY 11978 -0.00805340 0.75923136 -0.461426 43.500753
    Oben rechts KachelX + 1 16343 KachelY 11978 -0.00786165 0.75923136 -0.450439 43.500753
    Unten links KachelX 16342 KachelY + 1 11979 -0.00805340 0.75909226 -0.461426 43.492783
    Unten rechts KachelX + 1 16343 KachelY + 1 11979 -0.00786165 0.75909226 -0.450439 43.492783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75923136-0.75909226) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dl = 886.206100000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75923136-0.75909226) × R
    0.000139100000000059 × 6371000     		dr = 886.206100000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00805340--0.00786165) × cos(0.75923136) × R
    0.000191750000000001 × 0.725365329149086 × 6371000     		do = 886.134756677697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00805340--0.00786165) × cos(0.75909226) × R
    0.000191750000000001 × 0.725461073578125 × 6371000     		du = 886.251721830179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75923136)-sin(0.75909226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725365329149086-0.725461073578125)×R²
    abs(-0.00786165--0.00805340)×9.57444290385912e-05×R²
    0.000191750000000001×9.57444290385912e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.57444290385912e-05×40589641000000     		ar = 785349.855672201m²