Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16341 / 11983
↖ ↑ ↗
← N 43.460894°
W  0.472412°		 ← 886.72 m → N 43.460894°
W  0.461426°		 →
↑
886.78 m
↓
↑
886.78 m
↓
N 43.452919°
W  0.472412°		 ← 886.84 m →
786 377 m²		 N 43.452919°
W  0.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498703002929688 y=0.365707397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498703002929688 × 215)
    floor (0.498703002929688 × 32768)
    floor (16341.5)     		tx = 16341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365707397460938 × 215)
    floor (0.365707397460938 × 32768)
    floor (11983.5)     		ty = 11983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16341 / 11983 ti = "15/16341/11983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16341/11983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16341 ÷ 215
    16341 ÷ 32768     		x = 0.498687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11983 ÷ 215
    11983 ÷ 32768     		y = 0.365692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.00262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00824515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365692138671875 × 2 - 1) × π
    0.26861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.843881180911469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00824515} λ = -0.00824515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843881180911469))-π/2
    2×atan(2.32537468504066)-π/2
    2×1.16466600954968-π/2
    2.32933201909935-1.57079632675     		φ = 0.75853569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00824515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.472412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75853569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.460894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16341 KachelY 11983 -0.00824515 0.75853569 -0.472412 43.460894
    Oben rechts KachelX + 1 16342 KachelY 11983 -0.00805340 0.75853569 -0.461426 43.460894
    Unten links KachelX 16341 KachelY + 1 11984 -0.00824515 0.75839650 -0.472412 43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 16342 KachelY + 1 11984 -0.00805340 0.75839650 -0.461426 43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75853569-0.75839650) × R
    0.000139189999999956 × 6371000     		dl = 886.779489999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75853569-0.75839650) × R
    0.000139189999999956 × 6371000     		dr = 886.779489999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00824515--0.00805340) × cos(0.75853569) × R
    0.000191749999999999 × 0.725844027843768 × 6371000     		do = 886.719553792036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00824515--0.00805340) × cos(0.75839650) × R
    0.000191749999999999 × 0.725939763951328 × 6371000     		du = 886.836508778673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75853569)-sin(0.75839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725844027843768-0.725939763951328)×R²
    abs(-0.00805340--0.00824515)×9.57361075596408e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57361075596408e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57361075596408e-05×40589641000000     		ar = 786376.571595188m²