Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16340 / 12115
↖ ↑ ↗
← N 42.399122°
W  0.483398°		 ← 902.09 m → N 42.399122°
W  0.472412°		 →
↑
902.20 m
↓
↑
902.20 m
↓
N 42.391008°
W  0.483398°		 ← 902.21 m →
813 917 m²		 N 42.391008°
W  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498672485351562 y=0.369735717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498672485351562 × 215)
    floor (0.498672485351562 × 32768)
    floor (16340.5)     		tx = 16340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369735717773438 × 215)
    floor (0.369735717773438 × 32768)
    floor (12115.5)     		ty = 12115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16340 / 12115 ti = "15/16340/12115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16340/12115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16340 ÷ 215
    16340 ÷ 32768     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12115 ÷ 215
    12115 ÷ 32768     		y = 0.369720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369720458984375 × 2 - 1) × π
    0.26055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.818570497912079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818570497912079))-π/2
    2×atan(2.26725647202522)-π/2
    2×1.15540030421123-π/2
    2.31080060842247-1.57079632675     		φ = 0.74000428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74000428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.399122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16340 KachelY 12115 -0.00843689 0.74000428 -0.483398 42.399122
    Oben rechts KachelX + 1 16341 KachelY 12115 -0.00824515 0.74000428 -0.472412 42.399122
    Unten links KachelX 16340 KachelY + 1 12116 -0.00843689 0.73986267 -0.483398 42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 16341 KachelY + 1 12116 -0.00824515 0.73986267 -0.472412 42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74000428-0.73986267) × R
    0.000141610000000014 × 6371000     		dl = 902.197310000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74000428-0.73986267) × R
    0.000141610000000014 × 6371000     		dr = 902.197310000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00824515) × cos(0.74000428) × R
    0.000191740000000001 × 0.738465672770562 × 6371000     		do = 902.091602986168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00824515) × cos(0.73986267) × R
    0.000191740000000001 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 902.208237741025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74000428)-sin(0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738465672770562-0.738561151724616)×R²
    abs(-0.00824515--0.00843689)×9.54789540538181e-05×R²
    0.000191740000000001×9.54789540538181e-05×6371000²
    0.000191740000000001×9.54789540538181e-05×40589641000000     		ar = 813917.232729105m²