Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16339 / 12035
↖ ↑ ↗
← N 43.044805°
W  0.494385°		 ← 892.80 m → N 43.044805°
W  0.483398°		 →
↑
892.83 m
↓
↑
892.83 m
↓
N 43.036776°
W  0.494385°		 ← 892.92 m →
797 171 m²		 N 43.036776°
W  0.483398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498641967773438 y=0.367294311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498641967773438 × 215)
    floor (0.498641967773438 × 32768)
    floor (16339.5)     		tx = 16339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367294311523438 × 215)
    floor (0.367294311523438 × 32768)
    floor (12035.5)     		ty = 12035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16339 / 12035 ti = "15/16339/12035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16339/12035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16339 ÷ 215
    16339 ÷ 32768     		x = 0.498626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12035 ÷ 215
    12035 ÷ 32768     		y = 0.367279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.00274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00862864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367279052734375 × 2 - 1) × π
    0.26544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.833910305790497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00862864} λ = -0.00862864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833910305790497))-π/2
    2×atan(2.30230387367437)-π/2
    2×1.16103495355768-π/2
    2.32206990711537-1.57079632675     		φ = 0.75127358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00862864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.494385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75127358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.044805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16339 KachelY 12035 -0.00862864 0.75127358 -0.494385 43.044805
    Oben rechts KachelX + 1 16340 KachelY 12035 -0.00843689 0.75127358 -0.483398 43.044805
    Unten links KachelX 16339 KachelY + 1 12036 -0.00862864 0.75113344 -0.494385 43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 16340 KachelY + 1 12036 -0.00843689 0.75113344 -0.483398 43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75127358-0.75113344) × R
    0.000140139999999955 × 6371000     		dl = 892.831939999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75127358-0.75113344) × R
    0.000140139999999955 × 6371000     		dr = 892.831939999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00862864--0.00843689) × cos(0.75127358) × R
    0.000191749999999999 × 0.73082015421472 × 6371000     		do = 892.798585079751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00862864--0.00843689) × cos(0.75113344) × R
    0.000191749999999999 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 892.915432666641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75127358)-sin(0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73082015421472-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.00843689--0.00862864)×9.56481931059239e-05×R²
    0.000191749999999999×9.56481931059239e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.56481931059239e-05×40589641000000     		ar = 797171.256679074m²