Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16338 / 11378
↖ ↑ ↗
← N 48.092757°
W  0.505371°		 ← 815.97 m → N 48.092757°
W  0.494385°		 →
↑
816 m
↓
↑
816 m
↓
N 48.085419°
W  0.505371°		 ← 816.08 m →
665 873 m²		 N 48.085419°
W  0.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498611450195312 y=0.347244262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498611450195312 × 215)
    floor (0.498611450195312 × 32768)
    floor (16338.5)     		tx = 16338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347244262695312 × 215)
    floor (0.347244262695312 × 32768)
    floor (11378.5)     		ty = 11378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16338 / 11378 ti = "15/16338/11378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16338/11378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16338 ÷ 215
    16338 ÷ 32768     		x = 0.49859619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11378 ÷ 215
    11378 ÷ 32768     		y = 0.34722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.0028076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00882039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34722900390625 × 2 - 1) × π
    0.3055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.959888477992004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00882039} λ = -0.00882039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959888477992004))-π/2
    2×atan(2.61140522802856)-π/2
    2×1.20508664279318-π/2
    2.41017328558636-1.57079632675     		φ = 0.83937696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00882039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.505371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83937696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.092757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16338 KachelY 11378 -0.00882039 0.83937696 -0.505371 48.092757
    Oben rechts KachelX + 1 16339 KachelY 11378 -0.00862864 0.83937696 -0.494385 48.092757
    Unten links KachelX 16338 KachelY + 1 11379 -0.00882039 0.83924888 -0.505371 48.085419
    Unten rechts KachelX + 1 16339 KachelY + 1 11379 -0.00862864 0.83924888 -0.494385 48.085419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83937696-0.83924888) × R
    0.000128079999999975 × 6371000     		dl = 815.99767999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83937696-0.83924888) × R
    0.000128079999999975 × 6371000     		dr = 815.99767999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00882039--0.00862864) × cos(0.83937696) × R
    0.000191749999999999 × 0.66792663871329 × 6371000     		do = 815.965397972721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00882039--0.00862864) × cos(0.83924888) × R
    0.000191749999999999 × 0.66802195384399 × 6371000     		du = 816.081838677503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83937696)-sin(0.83924888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66792663871329-0.66802195384399)×R²
    abs(-0.00862864--0.00882039)×9.53151306993805e-05×R²
    0.000191749999999999×9.53151306993805e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.53151306993805e-05×40589641000000     		ar = 665873.380289287m²