Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16336 / 11376
↖ ↑ ↗
← N 48.107431°
W  0.527343°		 ← 815.69 m → N 48.107431°
W  0.516358°		 →
↑
815.81 m
↓
↑
815.81 m
↓
N 48.100095°
W  0.527343°		 ← 815.81 m →
665 493 m²		 N 48.100095°
W  0.516358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498550415039062 y=0.347183227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498550415039062 × 215)
    floor (0.498550415039062 × 32768)
    floor (16336.5)     		tx = 16336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347183227539062 × 215)
    floor (0.347183227539062 × 32768)
    floor (11376.5)     		ty = 11376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16336 / 11376 ti = "15/16336/11376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16336/11376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16336 ÷ 215
    16336 ÷ 32768     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11376 ÷ 215
    11376 ÷ 32768     		y = 0.34716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960271973188965))-π/2
    2×atan(2.61240688144319)-π/2
    2×1.20521469784608-π/2
    2.41042939569216-1.57079632675     		φ = 0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16336 KachelY 11376 -0.00920388 0.83963307 -0.527343 48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 16337 KachelY 11376 -0.00901214 0.83963307 -0.516358 48.107431
    Unten links KachelX 16336 KachelY + 1 11377 -0.00920388 0.83950502 -0.527343 48.100095
    Unten rechts KachelX + 1 16337 KachelY + 1 11377 -0.00901214 0.83950502 -0.516358 48.100095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83963307-0.83950502) × R
    0.000128049999999935 × 6371000     		dl = 815.806549999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83963307-0.83950502) × R
    0.000128049999999935 × 6371000     		dr = 815.806549999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00901214) × cos(0.83963307) × R
    0.000191739999999999 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 815.689980416515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00901214) × cos(0.83950502) × R
    0.000191739999999999 × 0.66783132751185 × 6371000     		du = 815.806414534202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83963307)-sin(0.83950502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.66783132751185)×R²
    abs(-0.00901214--0.00920388)×9.53147094668871e-05×R²
    0.000191739999999999×9.53147094668871e-05×6371000²
    0.000191739999999999×9.53147094668871e-05×40589641000000     		ar = 665492.723559868m²