Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16330 / 11434
↖ ↑ ↗
← N 47.680183°
W  0.593262°		 ← 822.49 m → N 47.680183°
W  0.582275°		 →
↑
822.56 m
↓
↑
822.56 m
↓
N 47.672785°
W  0.593262°		 ← 822.61 m →
676 596 m²		 N 47.672785°
W  0.582275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498367309570312 y=0.348953247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498367309570312 × 215)
    floor (0.498367309570312 × 32768)
    floor (16330.5)     		tx = 16330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348953247070312 × 215)
    floor (0.348953247070312 × 32768)
    floor (11434.5)     		ty = 11434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16330 / 11434 ti = "15/16330/11434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16330/11434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16330 ÷ 215
    16330 ÷ 32768     		x = 0.49835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11434 ÷ 215
    11434 ÷ 32768     		y = 0.34893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01035437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34893798828125 × 2 - 1) × π
    0.3021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01035437} λ = -0.01035437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949150612477112))-π/2
    2×atan(2.58351432227135)-π/2
    2×1.20148625357302-π/2
    2.40297250714603-1.57079632675     		φ = 0.83217618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01035437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.593262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83217618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.680183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16330 KachelY 11434 -0.01035437 0.83217618 -0.593262 47.680183
    Oben rechts KachelX + 1 16331 KachelY 11434 -0.01016262 0.83217618 -0.582275 47.680183
    Unten links KachelX 16330 KachelY + 1 11435 -0.01035437 0.83204707 -0.593262 47.672785
    Unten rechts KachelX + 1 16331 KachelY + 1 11435 -0.01016262 0.83204707 -0.582275 47.672785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83217618-0.83204707) × R
    0.000129110000000043 × 6371000     		dl = 822.559810000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83217618-0.83204707) × R
    0.000129110000000043 × 6371000     		dr = 822.559810000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01035437--0.01016262) × cos(0.83217618) × R
    0.000191749999999999 × 0.673268291823609 × 6371000     		do = 822.490971072172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01035437--0.01016262) × cos(0.83204707) × R
    0.000191749999999999 × 0.673363749922981 × 6371000     		du = 822.607586433095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83217618)-sin(0.83204707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673268291823609-0.673363749922981)×R²
    abs(-0.01016262--0.01035437)×9.54580993721699e-05×R²
    0.000191749999999999×9.54580993721699e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.54580993721699e-05×40589641000000     		ar = 676595.979386273m²