Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16329 / 11399
↖ ↑ ↗
← N 47.938427°
W  0.604248°		 ← 818.41 m → N 47.938427°
W  0.593262°		 →
↑
818.48 m
↓
↑
818.48 m
↓
N 47.931066°
W  0.604248°		 ← 818.53 m →
669 903 m²		 N 47.931066°
W  0.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498336791992188 y=0.347885131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498336791992188 × 215)
    floor (0.498336791992188 × 32768)
    floor (16329.5)     		tx = 16329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347885131835938 × 215)
    floor (0.347885131835938 × 32768)
    floor (11399.5)     		ty = 11399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16329 / 11399 ti = "15/16329/11399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16329/11399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16329 ÷ 215
    16329 ÷ 32768     		x = 0.498321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11399 ÷ 215
    11399 ÷ 32768     		y = 0.347869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.00335693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01054612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347869873046875 × 2 - 1) × π
    0.30426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.95586177842392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01054612} λ = -0.01054612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95586177842392))-π/2
    2×atan(2.60091102640303)-π/2
    2×1.20373985746138-π/2
    2.40747971492275-1.57079632675     		φ = 0.83668339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01054612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.604248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83668339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.938427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16329 KachelY 11399 -0.01054612 0.83668339 -0.604248 47.938427
    Oben rechts KachelX + 1 16330 KachelY 11399 -0.01035437 0.83668339 -0.593262 47.938427
    Unten links KachelX 16329 KachelY + 1 11400 -0.01054612 0.83655492 -0.604248 47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 16330 KachelY + 1 11400 -0.01035437 0.83655492 -0.593262 47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83668339-0.83655492) × R
    0.000128470000000047 × 6371000     		dl = 818.4823700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83668339-0.83655492) × R
    0.000128470000000047 × 6371000     		dr = 818.4823700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01054612--0.01035437) × cos(0.83668339) × R
    0.000191750000000001 × 0.669928841122276 × 6371000     		do = 818.41136702199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01054612--0.01035437) × cos(0.83655492) × R
    0.000191750000000001 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 818.527879462378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83668339)-sin(0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669928841122276-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.01035437--0.01054612)×9.53738514767322e-05×R²
    0.000191750000000001×9.53738514767322e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.53738514767322e-05×40589641000000     		ar = 669902.957925456m²