Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16328 / 12102
↖ ↑ ↗
← N 42.504503°
W  0.615235°		 ← 900.62 m → N 42.504503°
W  0.604248°		 →
↑
900.67 m
↓
↑
900.67 m
↓
N 42.496403°
W  0.615235°		 ← 900.74 m →
811 214 m²		 N 42.496403°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498306274414062 y=0.369338989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498306274414062 × 215)
    floor (0.498306274414062 × 32768)
    floor (16328.5)     		tx = 16328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369338989257812 × 215)
    floor (0.369338989257812 × 32768)
    floor (12102.5)     		ty = 12102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16328 / 12102 ti = "15/16328/12102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16328/12102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16328 ÷ 215
    16328 ÷ 32768     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12102 ÷ 215
    12102 ÷ 32768     		y = 0.36932373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36932373046875 × 2 - 1) × π
    0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821063216692322))-π/2
    2×atan(2.27291515463479)-π/2
    2×1.1563199242428-π/2
    2.3126398484856-1.57079632675     		φ = 0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16328 KachelY 12102 -0.01073787 0.74184352 -0.615235 42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 16329 KachelY 12102 -0.01054612 0.74184352 -0.604248 42.504503
    Unten links KachelX 16328 KachelY + 1 12103 -0.01073787 0.74170215 -0.615235 42.496403
    Unten rechts KachelX + 1 16329 KachelY + 1 12103 -0.01054612 0.74170215 -0.604248 42.496403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74184352-0.74170215) × R
    0.00014137000000003 × 6371000     		dl = 900.668270000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74184352-0.74170215) × R
    0.00014137000000003 × 6371000     		dr = 900.668270000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.74184352) × R
    0.000191749999999999 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 900.622069243264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.74170215) × R
    0.000191749999999999 × 0.737319750327418 × 6371000     		du = 900.738746800171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74184352)-sin(0.74170215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.737319750327418)×R²
    abs(-0.01054612--0.01073787)×9.55090112789714e-05×R²
    0.000191749999999999×9.55090112789714e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.55090112789714e-05×40589641000000     		ar = 811214.266267501m²