Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16328 / 11967
↖ ↑ ↗
← N 43.588349°
W  0.615235°		 ← 884.85 m → N 43.588349°
W  0.604248°		 →
↑
884.87 m
↓
↑
884.87 m
↓
N 43.580391°
W  0.615235°		 ← 884.97 m →
783 026 m²		 N 43.580391°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498306274414062 y=0.365219116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498306274414062 × 215)
    floor (0.498306274414062 × 32768)
    floor (16328.5)     		tx = 16328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365219116210938 × 215)
    floor (0.365219116210938 × 32768)
    floor (11967.5)     		ty = 11967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16328 / 11967 ti = "15/16328/11967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16328/11967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16328 ÷ 215
    16328 ÷ 32768     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11967 ÷ 215
    11967 ÷ 32768     		y = 0.365203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365203857421875 × 2 - 1) × π
    0.26959228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.846949142487152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846949142487152))-π/2
    2×atan(2.33251980008826)-π/2
    2×1.16577826539816-π/2
    2.33155653079632-1.57079632675     		φ = 0.76076020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76076020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.588349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16328 KachelY 11967 -0.01073787 0.76076020 -0.615235 43.588349
    Oben rechts KachelX + 1 16329 KachelY 11967 -0.01054612 0.76076020 -0.604248 43.588349
    Unten links KachelX 16328 KachelY + 1 11968 -0.01073787 0.76062131 -0.615235 43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 16329 KachelY + 1 11968 -0.01054612 0.76062131 -0.604248 43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76076020-0.76062131) × R
    0.000138890000000003 × 6371000     		dl = 884.868190000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76076020-0.76062131) × R
    0.000138890000000003 × 6371000     		dr = 884.868190000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.76076020) × R
    0.000191749999999999 × 0.724312083265956 × 6371000     		do = 884.848070166956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.76062131) × R
    0.000191749999999999 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 884.965046787671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76076020)-sin(0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724312083265956-0.724407837082572)×R²
    abs(-0.01054612--0.01073787)×9.57538166158622e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57538166158622e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57538166158622e-05×40589641000000     		ar = 783025.665977335m²