Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16328 / 11961
↖ ↑ ↗
← N 43.636075°
W  0.615235°		 ← 884.15 m → N 43.636075°
W  0.604248°		 →
↑
884.17 m
↓
↑
884.17 m
↓
N 43.628123°
W  0.615235°		 ← 884.26 m →
781 785 m²		 N 43.628123°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498306274414062 y=0.365036010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498306274414062 × 215)
    floor (0.498306274414062 × 32768)
    floor (16328.5)     		tx = 16328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365036010742188 × 215)
    floor (0.365036010742188 × 32768)
    floor (11961.5)     		ty = 11961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16328 / 11961 ti = "15/16328/11961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16328/11961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16328 ÷ 215
    16328 ÷ 32768     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11961 ÷ 215
    11961 ÷ 32768     		y = 0.365020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365020751953125 × 2 - 1) × π
    0.26995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.848099628078033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.848099628078033))-π/2
    2×atan(2.33520487478241)-π/2
    2×1.16619475544833-π/2
    2.33238951089665-1.57079632675     		φ = 0.76159318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76159318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.636075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16328 KachelY 11961 -0.01073787 0.76159318 -0.615235 43.636075
    Oben rechts KachelX + 1 16329 KachelY 11961 -0.01054612 0.76159318 -0.604248 43.636075
    Unten links KachelX 16328 KachelY + 1 11962 -0.01073787 0.76145440 -0.615235 43.628123
    Unten rechts KachelX + 1 16329 KachelY + 1 11962 -0.01054612 0.76145440 -0.604248 43.628123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76159318-0.76145440) × R
    0.000138780000000005 × 6371000     		dl = 884.167380000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76159318-0.76145440) × R
    0.000138780000000005 × 6371000     		dr = 884.167380000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.76159318) × R
    0.000191749999999999 × 0.723737515439954 × 6371000     		do = 884.146155558925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(0.76145440) × R
    0.000191749999999999 × 0.723833277129185 × 6371000     		du = 884.263141797136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76159318)-sin(0.76145440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723737515439954-0.723833277129185)×R²
    abs(-0.01054612--0.01073787)×9.57616892315327e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57616892315327e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57616892315327e-05×40589641000000     		ar = 781784.908860223m²