Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16325 / 11963
↖ ↑ ↗
← N 43.620171°
W  0.648193°		 ← 884.38 m → N 43.620171°
W  0.637207°		 →
↑
884.42 m
↓
↑
884.42 m
↓
N 43.612217°
W  0.648193°		 ← 884.50 m →
782 217 m²		 N 43.612217°
W  0.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498214721679688 y=0.365097045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498214721679688 × 215)
    floor (0.498214721679688 × 32768)
    floor (16325.5)     		tx = 16325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365097045898438 × 215)
    floor (0.365097045898438 × 32768)
    floor (11963.5)     		ty = 11963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16325 / 11963 ti = "15/16325/11963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16325/11963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16325 ÷ 215
    16325 ÷ 32768     		x = 0.498199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11963 ÷ 215
    11963 ÷ 32768     		y = 0.365081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.00360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01131311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365081787109375 × 2 - 1) × π
    0.26983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.847716132881073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01131311} λ = -0.01131311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847716132881073))-π/2
    2×atan(2.33430950662468)-π/2
    2×1.16605596215578-π/2
    2.33211192431155-1.57079632675     		φ = 0.76131560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01131311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.648193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76131560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.620171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16325 KachelY 11963 -0.01131311 0.76131560 -0.648193 43.620171
    Oben rechts KachelX + 1 16326 KachelY 11963 -0.01112136 0.76131560 -0.637207 43.620171
    Unten links KachelX 16325 KachelY + 1 11964 -0.01131311 0.76117678 -0.648193 43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 16326 KachelY + 1 11964 -0.01112136 0.76117678 -0.637207 43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76131560-0.76117678) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dl = 884.422219999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76131560-0.76117678) × R
    0.000138819999999984 × 6371000     		dr = 884.422219999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01131311--0.01112136) × cos(0.76131560) × R
    0.000191749999999999 × 0.723929038674958 × 6371000     		do = 884.380127860093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01131311--0.01112136) × cos(0.76117678) × R
    0.000191749999999999 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 884.497113738175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76131560)-sin(0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723929038674958-0.724024800069398)×R²
    abs(-0.01112136--0.01131311)×9.57613944398972e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57613944398972e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57613944398972e-05×40589641000000     		ar = 782217.169717598m²