Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16324 / 11974
↖ ↑ ↗
← N 43.532621°
W  0.659180°		 ← 885.67 m → N 43.532621°
W  0.648193°		 →
↑
885.70 m
↓
↑
885.70 m
↓
N 43.524655°
W  0.659180°		 ← 885.78 m →
784 484 m²		 N 43.524655°
W  0.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498184204101562 y=0.365432739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498184204101562 × 215)
    floor (0.498184204101562 × 32768)
    floor (16324.5)     		tx = 16324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365432739257812 × 215)
    floor (0.365432739257812 × 32768)
    floor (11974.5)     		ty = 11974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16324 / 11974 ti = "15/16324/11974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16324/11974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16324 ÷ 215
    16324 ÷ 32768     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11974 ÷ 215
    11974 ÷ 32768     		y = 0.36541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36541748046875 × 2 - 1) × π
    0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845606909297791))-π/2
    2×atan(2.32939111478009)-π/2
    2×1.16529194262308-π/2
    2.33058388524615-1.57079632675     		φ = 0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16324 KachelY 11974 -0.01150486 0.75978756 -0.659180 43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 16325 KachelY 11974 -0.01131311 0.75978756 -0.648193 43.532621
    Unten links KachelX 16324 KachelY + 1 11975 -0.01150486 0.75964854 -0.659180 43.524655
    Unten rechts KachelX + 1 16325 KachelY + 1 11975 -0.01131311 0.75964854 -0.648193 43.524655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75978756-0.75964854) × R
    0.00013901999999999 × 6371000     		dl = 885.696419999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75978756-0.75964854) × R
    0.00013901999999999 × 6371000     		dr = 885.696419999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(0.75978756) × R
    0.000191750000000001 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 885.666892918961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(0.75964854) × R
    0.000191750000000001 × 0.72507809429965 × 6371000     		du = 885.783859311658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75978756)-sin(0.75964854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.72507809429965)×R²
    abs(-0.01131311--0.01150486)×9.57454442440664e-05×R²
    0.000191750000000001×9.57454442440664e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.57454442440664e-05×40589641000000     		ar = 784483.795991733m²