Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16322 / 11582
↖ ↑ ↗
← N 46.573967°
W  0.681152°		 ← 839.78 m → N 46.573967°
W  0.670166°		 →
↑
839.83 m
↓
↑
839.83 m
↓
N 46.566414°
W  0.681152°		 ← 839.89 m →
705 314 m²		 N 46.566414°
W  0.670166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498123168945312 y=0.353469848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498123168945312 × 215)
    floor (0.498123168945312 × 32768)
    floor (16322.5)     		tx = 16322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353469848632812 × 215)
    floor (0.353469848632812 × 32768)
    floor (11582.5)     		ty = 11582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16322 / 11582 ti = "15/16322/11582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16322/11582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16322 ÷ 215
    16322 ÷ 32768     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11582 ÷ 215
    11582 ÷ 32768     		y = 0.35345458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35345458984375 × 2 - 1) × π
    0.2930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.920771967902039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920771967902039))-π/2
    2×atan(2.51122822945294)-π/2
    2×1.19183269654537-π/2
    2.38366539309073-1.57079632675     		φ = 0.81286907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81286907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.573967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16322 KachelY 11582 -0.01188835 0.81286907 -0.681152 46.573967
    Oben rechts KachelX + 1 16323 KachelY 11582 -0.01169660 0.81286907 -0.670166 46.573967
    Unten links KachelX 16322 KachelY + 1 11583 -0.01188835 0.81273725 -0.681152 46.566414
    Unten rechts KachelX + 1 16323 KachelY + 1 11583 -0.01169660 0.81273725 -0.670166 46.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81286907-0.81273725) × R
    0.000131820000000005 × 6371000     		dl = 839.82522000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81286907-0.81273725) × R
    0.000131820000000005 × 6371000     		dr = 839.82522000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01169660) × cos(0.81286907) × R
    0.000191750000000001 × 0.68741756737645 × 6371000     		do = 839.776281446595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01169660) × cos(0.81273725) × R
    0.000191750000000001 × 0.687513297314588 × 6371000     		du = 839.893228896425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81286907)-sin(0.81273725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68741756737645-0.687513297314588)×R²
    abs(-0.01169660--0.01188835)×9.57299381384447e-05×R²
    0.000191750000000001×9.57299381384447e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.57299381384447e-05×40589641000000     		ar = 705314.409046793m²