Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16320 / 11061
↖ ↑ ↗
← N 50.366489°
W  0.703125°		 ← 779.25 m → N 50.366489°
W  0.692139°		 →
↑
779.30 m
↓
↑
779.30 m
↓
N 50.359480°
W  0.703125°		 ← 779.37 m →
607 317 m²		 N 50.359480°
W  0.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498062133789062 y=0.337570190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498062133789062 × 215)
    floor (0.498062133789062 × 32768)
    floor (16320.5)     		tx = 16320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337570190429688 × 215)
    floor (0.337570190429688 × 32768)
    floor (11061.5)     		ty = 11061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16320 / 11061 ti = "15/16320/11061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16320/11061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16320 ÷ 215
    16320 ÷ 32768     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11061 ÷ 215
    11061 ÷ 32768     		y = 0.337554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337554931640625 × 2 - 1) × π
    0.32489013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02067246671024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02067246671024))-π/2
    2×atan(2.77506027229989)-π/2
    2×1.2249286941774-π/2
    2.4498573883548-1.57079632675     		φ = 0.87906106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87906106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.366489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16320 KachelY 11061 -0.01227185 0.87906106 -0.703125 50.366489
    Oben rechts KachelX + 1 16321 KachelY 11061 -0.01208010 0.87906106 -0.692139 50.366489
    Unten links KachelX 16320 KachelY + 1 11062 -0.01227185 0.87893874 -0.703125 50.359480
    Unten rechts KachelX + 1 16321 KachelY + 1 11062 -0.01208010 0.87893874 -0.692139 50.359480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87906106-0.87893874) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dl = 779.300719999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87906106-0.87893874) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dr = 779.300719999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01208010) × cos(0.87906106) × R
    0.000191750000000001 × 0.637874540796345 × 6371000     		do = 779.252575612545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01208010) × cos(0.87893874) × R
    0.000191750000000001 × 0.637968739584697 × 6371000     		du = 779.367652549698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87906106)-sin(0.87893874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637874540796345-0.637968739584697)×R²
    abs(-0.01208010--0.01227185)×9.4198788351707e-05×R²
    0.000191750000000001×9.4198788351707e-05×6371000²
    0.000191750000000001×9.4198788351707e-05×40589641000000     		ar = 607316.933763513m²