Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16318 / 11590
↖ ↑ ↗
← N 46.513515°
W  0.725098°		 ← 840.71 m → N 46.513515°
W  0.714111°		 →
↑
840.72 m
↓
↑
840.72 m
↓
N 46.505955°
W  0.725098°		 ← 840.83 m →
706 850 m²		 N 46.505955°
W  0.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498001098632812 y=0.353713989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498001098632812 × 215)
    floor (0.498001098632812 × 32768)
    floor (16318.5)     		tx = 16318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353713989257812 × 215)
    floor (0.353713989257812 × 32768)
    floor (11590.5)     		ty = 11590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16318 / 11590 ti = "15/16318/11590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16318/11590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16318 ÷ 215
    16318 ÷ 32768     		x = 0.49798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11590 ÷ 215
    11590 ÷ 32768     		y = 0.35369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35369873046875 × 2 - 1) × π
    0.2926025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.919237987114197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01265534} λ = -0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919237987114197))-π/2
    2×atan(2.50737900666677)-π/2
    2×1.19130516016796-π/2
    2.38261032033592-1.57079632675     		φ = 0.81181399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81181399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.513515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16318 KachelY 11590 -0.01265534 0.81181399 -0.725098 46.513515
    Oben rechts KachelX + 1 16319 KachelY 11590 -0.01246359 0.81181399 -0.714111 46.513515
    Unten links KachelX 16318 KachelY + 1 11591 -0.01265534 0.81168203 -0.725098 46.505955
    Unten rechts KachelX + 1 16319 KachelY + 1 11591 -0.01246359 0.81168203 -0.714111 46.505955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81181399-0.81168203) × R
    0.000131959999999931 × 6371000     		dl = 840.717159999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81181399-0.81168203) × R
    0.000131959999999931 × 6371000     		dr = 840.717159999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01265534--0.01246359) × cos(0.81181399) × R
    0.000191749999999999 × 0.688183449563287 × 6371000     		do = 840.711913186904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01265534--0.01246359) × cos(0.81168203) × R
    0.000191749999999999 × 0.688279185397458 × 6371000     		du = 840.828867839558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81181399)-sin(0.81168203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688183449563287-0.688279185397458)×R²
    abs(-0.01246359--0.01265534)×9.57358341704406e-05×R²
    0.000191749999999999×9.57358341704406e-05×6371000²
    0.000191749999999999×9.57358341704406e-05×40589641000000     		ar = 706850.095949861m²